来源见下面：

在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

1 文言文勾股定理应用题（除引葭赴岸）

勾股：

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？

答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。

术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，馀，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。

勾股定理：

有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面一尺长。把芦苇拽向岸边，刚好与到岸。请问水有多深，芦苇有多高？

答案：水深一丈二尺，芦苇高一丈三尺。

计算方法：把池子的边长折半平方，加上水学的平方，用芦苇高度的平方减去前者之和，即可算出水的深度，加上一尺即芦苇高度。

即设水深x，则芦苇高（x+01）， 有：

2 求助文言文《周髀算经》的翻译

《周髀算经》乃是算经的十书之一。约成书于公元前1世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。

中国流传至今的一部最早的数学著作，同时也是一部天文学著作。中国古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文学共有3家学说，“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主张：天像盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。

据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前1世纪）。南宋时的传刻本（嘉定六年，1213）是目前传世的最早刻本，收藏于上海图书馆。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释本行世。

从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。

书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容

在《周髀算经》中还有开平方的问题，等差级数的问题，使用了相当繁复的分数算法和开平方法，以及应用于古代的“四分历”计算的相当复杂的分数运算还有相当繁杂的数字计算和勾股定理的应用。

该书的第一章叙述了周公、商高问答时提到的勾股定理测量的方法，还举出了一个“勾三股四弦五”的特例。

3 请为下面两道文言数学题加标点,并写出答案,1三角几何八角三角三

首先你打出来可能是错的应该是：三角几何共八角，三角三角，几何几何三角+几何=八角钱 三角=三角钱，故几何=五角钱 因此：答案为：五角 下一句 竹高九尺，末折地，去本三尺，所折几许？ 竹子折而未断开顶端（末指树梢）着地，与剩下植于土内的树桩、地面构成直角三角形其中斜断部分为斜边c，竹子下段直立为一直角边b，地面上竹稍至竹根为另一直角边a，这里c+b=9,a=3套勾股定理c²-b²=3²=9，得（c+b）(c-b)=9, c-b=9/(c+b)=9/9=1，由c+b=9,c-b=1联立方程组解出b=4尺就是直立的竹干部分的高度。

4 求关于勾股定理的题目（附答案）,各种题型都可以

1在△ABC中，a=(m+n)的平方-1,b=2m+2n,c=(m+n)的平方+1。试判断△ABC的形状。

2已知AD是△ABC的高，且AD的平方=BD·DC，那么△ABC是直角三角形吗？说明理由。

3三角形三个内角度数的比是1:2:3，它的最大边为m，那么它的最小边是多少？

4斜边上的高为m的等腰直角三角形的面积等于什么？

1在△ABC中，a=(m+n)的平方-1,b=2m+2n,c=(m+n)的平方+1。试判断△ABC的形状。

解： ^2表示平方 ^4表示4次方

a^2=(m+n)^4-2(m+n)^2+1

b^2=4(m+n)^2

c^2=(m+n)^4+2(m+n)^2+1

b^2=c^2-a^2

所以该三角形为直角三角形

2已知AD是△ABC的高，且AD的平方=BD·DC，那么△ABC是直角三角形吗？说明理由。

解：△ABC是直角三角形，^2表示平方

由AD^2=BD·DC得

AD/BD=DC/AD

因为AD垂直于BC

所以△ADB相似于△CDA

所以角ABD=角CAD 角BAD=角ACD,

因为角ADB=角ADC=90度

所以角ABD+角BAD=90度

所以角BAD+角CAD=90度

所以该三角行为直角三角形

3三角形三个内角度数的比是1:2:3，它的最大边为m，那么它的最小边是多少？

根据正弦定理得：最小边为05m

4斜边上的高为m的等腰直角三角形的面积等于什么？

解"

求出底边长为2m,

S=05m2m=mm

5 文言文狼中股字的古义和今义

《狼》文中股是大腿 ~肱（亦喻左右辅助得力的人）

中国古代称不等腰三角形构成直角的较长的边，如勾股定理

今意

1、人腿，即自胯至脚腕的部分，包括了大腿和小腿。特指大腿，即自胯至膝盖的部分：~骨。~肱（亦喻左右辅助得力的人）。

2、事物的分支或一部分（a、资金的一份，如“~份”，“~东”，“~票”；b、机关团体中的一个部门；c、其他，如“钗~”，“八~文”）。

3、量词（a、指成条的，如“七~大水”；b、指气味，如“一~香味”；c、指力气，如“拧成一~劲”；d、批、部分，如“一小~敌军”）

6 勾股定理内容

勾股定理中的数学思想数学思想是解决数学问题的灵魂，正确运用数学思想也是解题成功的关键。

在运用勾股定理解题时，尤其应注重数学思想的运用。那么勾股定理解题时，蕴含了哪些数学思想呢？现就勾股定理中的常用的数学思想举例说明。

一、方程思想例1 如图1，在矩形ABCD中，AD=6,AB=8，△ABD沿BD对折，交DC于F，求CF的长？解：由题意得：△ABD≌△EBD，所以∠ABD=∠EBD。又因为AB‖DC，所以∠ABD=∠BDC，所以∠EBD=∠BDC，所以BF=DF。

设CF=x，则BF=DF=8-x。在Rt△BCF中，即解得，所以二、分类讨论思想例2 一个等腰三角形的周长为14cm，一边长4cm，求底边上的高。

解：（1）若4cm为腰长时，则底边长为6cm，则底边上的高。（2）若4cm为底边长时，则腰长为5cm，则底边上的高。

所以底边上的高。三、数形结合思想例3 如图2，在一棵树的10米 高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：设BD=x米，由题意得，CD=(20-x)米，AC=10米。

在Rt△ACD中，∠CAD=90°，所以即，解方程得米。则这棵树的高度为（）米。

答：这棵树的高度为（）米。四、转化思想例4 如图3，长方体的长AB=15cm，宽BC=10cm，高BF=20cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点G，需要爬行的最短路程是多少？解：有三种情况：（1）如图4：路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，在Rt△ACG中，∠ACG=90°，AC=25cm,CG=20cm，则（2）如图5：路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，在Rt△ABG中，∠ABG=90°，AB=15cm,BG=30cm，则（3）如图6：路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，在Rt△AFG中，∠AFG=90°，AF=35cm,FG=10cm，则因为所以蚂蚁爬行的最短路程为：勾股定理是人类的瑰宝，数学的奇葩，勾股定理中蕴含了丰富的数学思想，现撷取了勾股定理中的部分数学思想，以起抛砖引玉的作用。

华夏古诗词源远流长，有许多古诗词与勾股定理有紧密联系，下面是明朝大数学家程大位所著的《直指算法统宗》里的一道题：

《荡秋千》

平地秋千未起，踏起一尺离地；

送行二步与人齐，五尺人高曾记；

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；

良工高士素好奇，算出索长有几？

(注：每5尺一步)

此题翻译成现代汉语大意是：有一秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？

（以上内容摘自“题谷”网站。）

勾股定理趣事

学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛．迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种．其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．

总统为什么会想到去证明勾股定理呢难道他是数学家或数学爱好者答案是否定的．事情的经过是这样的；

勾股的发现

在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正 在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地 谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干 什么

只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生,你能说出其中的道理吗”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味

于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法

1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法

1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,

勾股的证明

人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法

勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线

正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献邮票上的图案是对勾股定理的说明希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里

尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理

2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定

今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”（Tangram）,意思是中国图（不是唐代发明的图）七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板现在的七巧板是经过一段历史演变过程的

勾股趣事

甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!

有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn（n为已知正整数,且n＞2）都不可能有正整数解这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）

假设现在给定一个正方形BEGF。这道题目本身并没有难度，关键在于楼主不允许使用全等。

 

即便如此，可以把题目看成以H为动点在GF上移动，HE为边长，做一个正方形AEHI，因为H点是移动的，相应的A点也会跟着移动，但我可以和楼主保证，当H点移动到G点时，此刻AG=2BG或AB=BG，因为他们满足了各自之间的垂直关系。当H点移动到F点时，A点与B点重合。

 

 

根据以上的观点，得知正方形ABCD的边长是变化的。这样就满足了a^2+b^2=c^2前提，即我给你一个定量（假设是b），那么a的取值就随c的变化而变化。因为H点在GF上移动这个限制，所以也导致了AB的变化范围必须是在（0-b）之间。

 

 

如果楼主只是认为a、b、c是相较于边长，那么此题就显得毫无意义。关键是刘徽采用拓补的思路，即正方形AEHI=正方形ABCD+正方形BEFG。

 

在达成以上共识后，我们再来讨论拓补对于勾股定理的意义。我们假设AG与IH的交点为O

思路：

首先楼主限定了我不能用全等，那根据平行线之间成比例的关系。我们将三角形HEF旋转90度。使得，点A、E、H在同一直线上。此时，点B、E、F也在同一直线上，并且HF//AB，这样我们就能得到HF=AB=a（这个不是全等，这个是平行线之间，线段成比例的概念）你也可以认为这是将三角形HEF拓补到整个图形的右侧。

其实只要证明出AB=HF=a，那么GH=b-a，此题几乎已经破解。我们假设AG与IH的交点为O，那么根据平行线之间线段成比例的概念，我们可以将线段OG，GH，OH分别表示用a和b表示出来。

此时正方形AEHI的面积相当于三角形AIO，三角形ABE，三角形BOE，三角形EOH面积之和，且这些三角形都是直角三角形，个边长都可以用代数a和b表示出来，而正方形AEHI本身的面积就是c^2，所以不用担心会出现恒等式的情况。（注意只要将4个直角三角形的面积相加，不要列出等式，因为这本来就是相等的，肯定会是恒等式的概念，即A-B=0）

 证闭

关键我们要从这个问题中看见本质，其实就是H点在GF上移动，问你正方形边长AB与HF之间的关系，我们一但抓住本质，就很容易把这个问题想清楚。

这和我们生活中遇到很多情况都是一样的，为人处事但求一个明确的思路，看清问题的本质很有利于提升我们自己的效率，从而脱颖而出。

　　勾股定理是一个基本的几何定理。

　　在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^+b^=c^ 。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。

　　中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。

　　还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

　　蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。蒋铭祖说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理，关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也；""此数"指的是"勾三股四弦五"。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

　　毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。　直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。　两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。　利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：　三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。

　　勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比中国晚，中国是最早发现这一几何宝藏的国家。目前初二学生教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c²。

从图1看出，ABED是边长为3的正方形，∴AB=KO=3，

ACHI是正方形，∴AI=AC=4，

ΔABC≌ΔOFB，∴BO=AC=4，OF=AB=3，

同理FL=OB=4，

∴JK=OI=4+3+4=11，

KL=3+3+4=10，

∴S长形 KLMJ=11×10=110。

很神奇的东西

正方形ABCD边长为a ，点B在AG上，

正方形EFGB边长为b ，点C在EB上，

正方形EHIA边长为c ，点H在FG上，

设IJ⊥AG交于J，HI交AG于K，AE交CD于L ；

∵ EA=EH=a，EB=EF=b，∠EBA=∠EFH=90°，

∴ Rt△EFH≌Rt△EBA，∠1=∠2, FH=BA=a ,

∴ Rt△EFH中，

直角边FH=a，直角边EF=b，斜边EH=c ，

∵ ∠2=∠3=∠4=90°-∠EAB，∠1=∠2,

∴ ∠1=∠3，又EH=AI=a，∠EFH=∠AJI=90°，

∴ Rt△EFH≌Rt△AJI，JI=FH=a ，

∵ ∠5=∠3=90°-∠AIJ，∠3=∠4 ,

∴ ∠4=∠5，又DA=JI=a，∠ADL=∠IJK=90°，

∴ Rt△ADL≌Rt△IJK，

∵ ∠6=∠1=90°-∠EHF，∠1=∠2 ,

∴ ∠2=∠6，又EC=HB=b-a，∠LCE=∠KGH=90°

∴ Rt△LCE≌Rt△KGH ；

∴综上所述：正方形ABCD面积+正方形EFGB面积

=正方形EHIA面积；

即：a²+b²=c² ；

∴ 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。