这个回答可以分为几种网站，一是线上阅读并且能全文检索，二是可以阅读到扫面版古籍原貌，三是可以下载古籍的网站，四是以上三种搭配组合。这里分类解答。
可全文搜索的线上古籍阅读网站

中国国家图书馆•中国国家数字图书馆
大量在线资源、子数据库、可以在线阅读海量电子书（古籍、方志、拓片、民国图书），需要注册（实名注册、需要身份证号）。
国图购买了大量资源，有账号，便可在线阅读或者下载，具体使用方法，参见
免费下载付费数据库论文的方法

国图有众多数据库，当然很多只能阅读扫描版书影（虽然很多人追求这种效果），不过其古籍有一个非常优秀的数据库——二十五史研习系统。