拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。

拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。

连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。

数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合);现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在前者已演化成一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。拓扑学主要是由于分析学和几何学的需要而发展起来的,它自30年代以来的大发展,尤其是它的成果与方法对于数学的各个领域的不断渗透，是20世纪理论数学发展中的一个明显特征。

拓扑相变与拓扑相荣获2016年诺贝尔物理学奖，LIGO三剑客落选，拓扑绝缘体也无缘。

他们的分别是戴维·索利斯、邓肯·霍尔丹和迈克尔·科斯特利兹。获奖理由为“在拓扑相变以及拓扑材料方面的理论发现”。

这三位科学家在物理学中引入了拓扑的概念，使用先进的数学方法来研究物质不同寻常的物相或状态，如超导体、超流体或磁性薄膜。开启了通往奇异物质状态研究的未知世界的大门。

看到这里，小伙伴们状态应该还是这样↓↓

别放弃，一点一点听蝌蚪君说。

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拓扑（Topology）原本是一个数学概念，描述的是几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的性质。

在诺贝尔颁奖典礼上，组委会用一袋子面包解释起了拓扑是什么回事。（万万没想到，一袋子面包最终斩获大奖）

▲没有洞的肉桂卷（cinnamon bun）、一个洞的面包圈（bagel）和两个洞的碱水面包（pretzel）

蝌蚪君用一句话来描述拓扑相变，希望你们能明白↓↓

“拓扑就是形状，相变就是水变成水蒸气，发生在动量空间。”

▲物质最常见的是气体、液体、固体。如果在极高或极低的温度下，物质还有更多状态（相）

不同的物态之间是可以相互转化的，比如液态水银的电阻不是零，但在低温下它也可以变成超导体，电阻为零。

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为了更进一步理解拓扑相变与拓扑相，蝌蚪君专访了中科院物理所副研究员翁红明。

蝌蚪君：请问，本次得奖的拓扑相变与拓扑绝缘体之间的关系是什么？

翁红明：拓扑绝缘体是拓扑物态的一种；拓扑相变是不同的拓扑物态之间的转变——包括相变的规律以及其对应的物理现象。

蝌蚪君：如何评价拓扑相变先于拓扑绝缘体获奖，是不是因为拓扑相变具有更基础的框架性地位？

翁红明：据我了解，这次得诺贝尔物理奖的Thouless与Haldane的工作是开创了拓扑物态的研究领域。

Thouless是第一个提出用陈数来刻画拓扑物态的人。Haldane是第一个提出在没有强磁场的情况下在晶格体系中实现整数量子霍尔效应——也就是第一个拓扑量子物态。

（补充：陈数是一个来自整体微分几何的概念，陈就是我国数学家陈省身，丘成桐的博士论文导师。陈数基本上可以看成是一些外微分形式在流形上的积分，是一种拓扑不变量。）

蝌蚪君：“如何理解中科院物理所研究的外尔费米子与拓扑相的关系？

翁红明：外尔费米子属于拓扑半金属研究领域，这个领域与拓扑绝缘体一样，都属于其中一种拓扑物态。

（补充：中科院物理所的研究团队曾经在外尔费米子研究领域取得巨大进展，而上海交通大学的贾金锋研究组在拓扑超导态研究中取得巨大进展，这些都是拓扑物态研究中的中国力量。）

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现在，物理学家已经发现了多种多样的拓扑相，不仅存在于薄层和线状结构中，也存在于普通的三维材料中。

拓扑材料的研究不仅能帮助我们更深入地了解物质的奇异结构和状态，也为电子学和超导体领域带来了新的应用，或许还能助力未来量子计算机的研发。