数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。

从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果6。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。

现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。

因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程：

演绎传统——定理证明活动

算法传统——算法创造活动

中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。

我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”一种长方锥体　体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献3。

3 古为今用，创新发展

到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。

计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，著名的计算机科学家DEKnuth就呼吁人们关注古代中国和印度的算法5。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如著名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。

然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。

南宋末年杨辉所撰

杨辉，字谦光，钱塘(今浙江杭州》人，其生平事迹、生卒年月则无可详考。只能由一些有关著述推测其某些行踪。杨辉《日用算法》之陈几先序称：“钱塘杨辉以廉饬已，以儒饰吏，吐胸中之灵机，续前贤之奥旨。”依此可知，杨辉可能在南宋担任过某些地方官吏，又由《田亩比类乘除捷法》卷上五次引用台州(今浙江临海县)量田图来猜测．杨辉可能在台州工作过。再根据杨辉《续古摘奇算法》卷上称：“辉伏睹京城见用官斛号杭州百合，浙郡一体行用。”其卷下称：“辉因到姑苏，有人求三七差分，继答之。”可见杨辉足迹曾遍历苏、杭。

杨辉生平事迹虽然知道甚少，但其著作流传至今者却较磊，共有五种二十一卷，即： 《详解九章算法》十二卷，宋理宗景定二年(1261年)；《日用算法》二卷，宋理宗景定三年(1262年)；《乘除通变本末》三卷，宋度宗咸淳十年(1274年)；《田亩比类乘除捷法》二卷，宋恭宗德祜元年(1275年)；《续古摘奇算法》二卷，宋恭宗德韦占元年(1275年)。其前两种乃是杨辉早年著述，其后期所作三种一般称之为《杨辉算法》。

杨辉《详解九章算法》序称：“辉虽慕此书，未能贯理，妄以浅也。聊为编述，择八十题以为矜式，自余一百六十六问，无出前意，不敢废先贤之文，删留题次，习者可以闻一知十，……，凡题法解白不明者，别图而验之，编乘除诸术，以便入门，篡法问类次见之章末，总十有二卷”。可见现传本已面目全非，除保留有“篡类”外，而“篡类”虽附合杨辉原意，但其“图”及“乘除算法”今已不存，且次序也非原貌。从杨辉《详解九章算法》编排上看，首先，是解题，即是对《九章》原题作详细解释，有的则辅以评论和校勘；其次，即是细草，或叫图草，先列算法，后列算草，有图附图，有表附表，如杨辉说“以图参法，取用可知”；最后，即是比类，一方面列出与原算法相同的例题，一方面列出与原算法可比拟的例题。例如在商功章给予六道比拟的垛积题，即

S=a×b+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+……+c×d

=h／6E(2b+d)a+(2d+b)c]+h／6(c—a)．

S=12+22+32+……+n2一n／3(n+1)(n+1／2)．

S=a2+(a+1)2+(a+2)2+……+b2

=h／3{a2+b2十ab+(b—a)／2}．

S=1+3+6+10+……+n(n+1)／2

=1／6n(n+1)(n+2)．

等。虽然杨辉给出六道垛积题，但基本上都是沈括“隙积术”的特例。在杨辉其他算书中，也有垛积题即高阶等差级数求和的问题，如清代顾观光说：“堆垛之术详于杨氏(杨辉)、朱氏(朱世杰)二书，而创始之功，断推沈氏(沈括)。”

杨辉《详解九章算法篡类》序说：“向获善本，……，以魏景元元年刘徽等……注释，圣宋右班(殿)直贾宪撰草。”可知杨辉曾参考过刘徽及李淳风对《九章》的注文，也参考过贾宪的著作《黄帝九章算法细草》。贾宪是北宋天算家楚衍之弟子，活动于北宋乾兴、皇祐年间，著有《算法敦古集》二卷和《黄帝九章算法细草》九卷，此二书均已失传，幸喜杨辉在《详解九章算法》引录贾宪之说，才使贾宪学说得以流传。

1祖冲之：（公元429年—公元500年）《缀术》

2刘徽： 《海岛算经》 《九章算术注》 《九章重差图》263年左右

3 李冶：《测圆海镜》——开元术

贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等

算法统宗的计算方法有：算筹法、入门法、算术法、书法法、循环法。

1、算筹法：通过类似于竖式计算的方法进行计算，将数按位排列，并进行逐位相加、相减等运算。

2、入门法：针对整数、分数和负数等的加减乘除运算，通过规定步骤和方法进行计算。

3、算术法：包括加减乘除等基本运算，以及开方、立方等高级运算。

4、书法法：通过书写数字的方式进行计算，例如用横杠表示负数、用撇表示小数等。

5、循环法：利用循环的特性解决一些复杂的数学问题，如循环计算平方根、循环求解方程等。

算法统宗是明朝数学家杨辉创作的一部重要著作，详细介绍了当时的数学算法和数学知识。这本著作包含了许多关于算术、代数、几何等领域的内容，对于明朝时期的数学发展具有重要影响。

杨辉是明朝时期著名的数学家和学者，在这本书中系统地阐述了一些数学方法和技巧，如算术运算、解方程、几何图形等。这本书的名字“算法统宗”意为总结各种算法的精华，是当时数学领域的重要著作之一。

算法统宗的创作历史

杨辉创作《算法统宗》的时间大约在13世纪末到14世纪初，杨辉生活在中国南宋末期和元初时期。这个时期正值中国数学蓬勃发展的阶段，许多数学家在探索各种数学领域，包括算术、代数、几何等。

杨辉的《算法统宗》被认为是其晚年的杰作，其中收录了多年来研究和总结的数学知识和算法。这本书涵盖了各种数学内容，包括算术、方程、几何、数论等。它的创作目的在于系统地总结和传承当时的数学成果，为后人提供学习和研究的参考。

数学的思维导图画法如下：

在数学学习中，思维导图是一种非常有用的工具，可以帮助我们更好地理解和组织数学知识。下面我们将介绍七种不同的数学思维导图画法，包括概念图法、树状图法、流程图法、网格图法、气泡图法、圆锥图法和玫瑰图法。

1概念图法

概念图法是思维导图中最简单的一种画法。首先，找到一个主题，将其放在中央，然后围绕主题展开相关的概念，将概念之间的关系用线条连接起来，形成概念图。例如，以“函数”为主题，可以画出与函数相关的概念，如函数的定义、函数的性质、函数的图像等，然后将这些概念用线条连接起来。

2树状图法

树状图法适用于表达含有子主题和孙主题的数学概念。首先画出主题，然后围绕主题画出子主题和孙主题，依次表达出它们之间的关系。例如，以“三角形”为主题，可以画出与三角形相关的子主题，如直角三角形、等边三角形等，然后画出这些子主题下的孙主题，如勾股定理、三角形的内角和定理等。

3流程图法

流程图法适用于表达数学算法的流程和步骤。首先找到算法的核心步骤，将其放在中央，然后围绕步骤画出具体的算法步骤。例如，求解一元二次方程的算法可以画出以下步骤：将方程化为一般形式，找出判别式b²-4ac根据判别式的值，确定方程的根，画出方程的图像，根据图像求出方程的根。

4网格图法

网格图法适用于表达数学公式和原理。首先将公式和原理按照一定的规律布置在网格中，然后填充满整个页面。例如，可以将平面直角坐标系中的点用网格图表示出来，然后根据点的坐标应用向量的加法、减法、数乘等运算。

5气泡图法

气泡图法适用于表达含有大量数据的数学问题。首先找到数据所在的位置，将其放在中央，然后以气泡的形式表现出数据的变化和关系。例如，可以用气泡图来表示一组数据的离散程度，将每个数据点表示为一个气泡，气泡的大小表示该数据的取值大小。

6圆锥图法

圆锥图法适用于表达与锥体、球体等相关的数学问题。首先找到球体的中心，将其放在中央，然后逐渐展开，画出圆锥体和球体的边界。例如，可以用圆锥图来表示圆锥的侧面展开图，或者用它来表示球体的表面积和体积。

7玫瑰图法

玫瑰图法适用于表达与几何和三角有关的数学问题。首先找到角和边的位置，将其放在中央，然后逐渐展开，画出更多的角和边。例如，可以用玫瑰图来表示三角形的内角和定理，将三角形的三个角表示为三个花瓣，然后根据三角形的性质画出其他的花瓣。

总之，不同的思维导图画法可以表达不同的数学知识和问题。在画思维导图时，应根据需要选择合适的画法，以便更好地理解和组织数学知识。