乘法口诀表儿歌：

1、一一得一。

2、一二得二 二二得四。

3、一三得三 二三得六 三三得九。

4、一四得四 二四得八 三四十二 四四十六。

5、一五得五 二五一十 三五十五 四五二十 五五二十五。

6、一六得六 二六十二 三六十八 四六二十四 五六三十 六六三十六。

7、一七得七 二七十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九。

8、一八得八 二八十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四。

9、一九得九 二九十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一。

儿歌按照不同的标准可以有不同的分类方法。儿歌按其功能，大致可以分为两大类：游戏儿歌、教诲儿歌。游戏儿歌是一种以娱乐为主的儿歌，简单易懂，琅琅上口，贴近生活。相比较而儿歌三百首言，教诲儿歌更偏重教育引导，因此又称作启发益智儿歌。

此外，训练语言能力的绕口令可以看做游戏类儿歌的雏形。绕口令的产生，可以追寻到5000多年前的黄帝时代。古籍中侥幸保存下来的《弹歌》“晰竹，续竹，飞土”，相传为黄帝时所作。据考证，这是比较接近于原始形态的歌谣。

按照产生时间或形式来分，可以分为古代的童谣和现代的儿歌。童谣即是古代的儿歌，只是古代的童谣流传到，大多没有曲调了，只剩下了歌词。按照演唱语言，儿歌可以分为国语儿歌、客家童谣、粤语童谣、英语儿歌等。

国语儿歌大多是现代作品，如我们耳熟能详的《采蘑菇的小姑娘》、《小螺号》等等；客家童谣广泛流传于客家地区，以客家话形式传唱，如影响了每一个客家儿童童年的《月光光》；英语儿歌即是以英语为创作语言的儿歌，我们比较熟悉的如《Jingle Bells》等等。

乘法口诀表里没有等于68的。接近68的有：4×14=56，4×15=60，4×16=64，4×17=68，4×18=72，4×19=76。

九九表（乘法口诀表）一般只用一到九这9个数字，九九表包含乘法的可交换性，因此只需要八九七十二，不需要“九八七十二”，9乘9有81组积，九九表只需要1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45项积。九九表存在了至少三千多年。从春秋战国时代就用在筹算中运算，到明代则改良并用在算盘上。

乘法口诀记忆技巧

在学习了乘法的意义之后，对于判断结果的大致范围会有一定的帮助。例如6×8，表示6个8或8个6连加，那么当学生背不出口诀时，可通过加法算出结果，或者通过它的意义估计出积的结果大约在50左右，继而排除一些不可能的结果，朝这个范围思考口诀。

当学生能按顺序熟背口诀后，必然会有若干自己比较熟悉的口诀，例如：二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法口诀，比如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个9”，也就是“81-9=72”，

乘法口诀表好记方法：

可以竖着背，比如：一一得一，一二得二，一直背到一九得九，接着背二二得四，二三得六，一直到二九十八，然后是三三得九，三四十二，一直到三九二十七，如此类推；

接下来，依次是四四十六的竖列、五五二十五的竖列、六六三十六的、七七四十九的、八八六十四的、最后九九八十一的．这种方法有个规律，几的竖列，就逐渐增加几，可以按此规律帮助记忆。

乘法

是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积，“x”是乘号。从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。整数（包括负数），有理数（分数）和实数的乘法由这个基本定义的系统泛化来定义。

乘法也可以被视为计算排列在矩形（整数）中的对象或查找其边长度给定的矩形的区域。 矩形的区域不取决于首先测量哪一侧，这说明了交换属性。 两种测量的产物是一种新型的测量，例如，将矩形的两边的长度相乘给出其面积，这是尺寸分析的主题。

九九乘法表是在春秋战国时期发明的，成书于春秋战国间的《管子》， 书中提到“安戏作九九之数以应天道”。九九乘法口诀最早是由中国人发明。在诸子百家的《荀子》、《管子》、《淮南子》等古籍中都能找到口诀。

在战国时代，九九口诀已经相当流行，诸子著作如《荀子》 等已把乘法口诀的文句作为科学上的论证来引用了。我国古代的乘法口诀（乘法表）是从“九九八十一”起到“二二如四”止，它的顺序和后世 的口诀相反。口诀的开始两个字是“九九”，古人就用“九九”作为乘法口诀的简称。现代的“九九”乘法口诀，是从一到九每两数相乘而成。

九九乘法表乘法口诀是最基础的乘法运算，其代表的含义也可以用加法来理解，在古代中国人就会用乘法来计算了。不过，这不是没根据的猜想，这是有文献记载的。根据刘徽的「九章算术」中记载，伏羲氏根据八卦，作九九之合爻之变，说明九九乘法的起源相当早。现在很多国家会认为什么东西是自己国家发明的，就纷纷出示证据，而「九章算术」的记载，无疑就是证明九九乘法表是中国人的智慧结晶的给力证据。

九九表包含乘法的可交换性，因此只需要八九七十二，不需要“九八七十二”，9乘9有81组积，九九表只需要项积。明代珠算也有采用81组积的九九表。45项的九九表称为小九九，81项的九九表称为大九九。

九九乘法表是古代世界最短的乘法表。玛雅乘法表须190项，巴比伦乘法表须1770项，埃及、希腊、罗马、印度等国的乘法表须无穷多项；九九乘法表只需45/81项。九九乘法表存在了至少三千多年。从春秋战国时代就用在筹算中运算，到明代则改良并用在算盘上。现在，九九表也是小学算术的基本功。

九九乘法表的由来如下：

九九乘法表是中国对世界贡献很大的发明。

在春秋战国时代的中国人发明了十进位制，之后还发明九九表。虽然九九表的最初创始人还难以考证，但是在诸子百家的《荀子》、《管子》、《淮南子》等古籍中，都能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”等口诀。

九九表后来东传入高丽、日本，经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。

九九表，又称九九歌、九因歌，是中国古代筹算中进行乘法、除法、开方等运算中的基本计算规则，沿用到今日，已有两千多年。小学初年级学生、一些学龄儿童都会背诵。不过欧洲直到十三世纪初才知道这种简单的乘法表。

西方文明古国的希腊和巴比伦，也有发明的乘法表，不过比起九九表繁复些。巴比伦发明的希腊乘法表有一千七百多项，而且不够完全。由于在十三世纪之前他们计算乘法、除法十分辛苦，所以能够除一个大数的人，会被人视若数学专家。

十三世纪之初，东方的计算方法，通过阿拉伯人传入欧洲，欧洲人发现了它的方便之处，所以学习这个新方法。当时，用新法乘两个数这类题目，是当时大学的教材。

2015年3月，九九乘法表传入英国后，因语言不同导致口诀变长，背诵较难，《一课一练》英国版中可能改为“12×12乘法表”。

：

乘法口诀（也叫“九九歌”）在我国很早就已产生。

远在春秋战国时代，九九歌就已经广泛地被人们利用着。在当时的许多著作中，已经引用部分乘法口诀。最初的九九歌是以“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句口诀。发掘出的汉朝“竹木简”以及敦煌发现的古“九九术残木简”上都是从“九九八十一”开始的。“九九”之名就是取口诀开头的两个字。

大约公元5～10世纪间，“九九”口诀扩充到“一一如一”。

大约在宋朝（公元11、12世纪），九九歌的顺序才变成和现代用的一样，即从“一一如一”起到“九九八十一”止。元

朱世杰著《算学启蒙》一书所载的45句口诀，已是从“一一”到”九九“，并称为九数法。现在用的乘法口诀有两种，一种是45句的，通常称为小九九；还有一种是81句的，通常称为大九九。书中记载，大九九最早见于清陈杰著的《算法大成》。

九九乘法表起源于春秋战国时代。“乘法口诀”是人们在计算中进行乘、除、开方等运算的基本规则，中国从春秋战国时期至今，已沿用有三千多年历史了。古时的“乘法口诀”是从“九九八十一”开始，至“一一如一”结束，与现在使用的顺序恰恰相反，因此，古人用“乘法口诀”开始的两个字“九九”作为此口诀的名称，称为“九九表”、“九九歌”、“九九乘法表”等。

九九乘法表的发明者没有具体记载，但先秦时期《管子》中提到这个口诀由“宓戏”所作，而三国时代数学家刘徽在《九章算术》中的说法则是：“昔在包牺氏，作九九之术。”宓戏、包牺即伏羲氏，都是指黄帝时期的神话人物。

而汉代韩晏的《韩诗外传》卷三中也讲了一个有趣的故事：当年齐桓公专门设立了一个会馆来召集各种牛人，可是过了很久都没有人来应征。一年后好不容易来了一个人，这位仁兄竟然进献了他的见面礼“九九乘法表”。齐桓公和在场的其他人都觉得好笑，这也好拿来当见面礼？（侧面印证那时九九乘法表已被大众所熟知。）

于是这个人解释：“夫九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎!”如果你连我这个懂九九表的人都接纳了，你还怕更有才能的人不来吗？齐桓公觉得有道理，就接纳了他。果然这之后会馆就门庭若市了。

九九乘法表可能起源于春秋战国时代，《战国策》、《荀子》、《管子》等书中都有六六三十六、三九二十七等句，两千多年来，中国人从小就开始背诵九九歌。

乘法口诀起源于中国，是古代人进行乘法、除法、开方等运算的基本法则，距今已经有两千多年的历史了。

这是每一个小学生都会背的九九乘法口诀表，那么，最早的乘法口诀究竟有什么来历？它为什么叫九九乘法口诀呢？

根据2002年，湖南考古人员在龙山里耶一座古城的废井中出土了36000余枚秦简。

在考古现场清洗出土的秦简时，一枚长22厘米、宽45厘米的木牍引起了考古工作人员的注意。经过一番辨认，排列整体的乘法口诀表映入眼帘。

毫无疑问，这是距今两千多年前的乘法口诀表。

乘法口诀表是中国儿童启蒙必背的数字运算基本工具，这枚写有九九乘法表的里耶秦简，是我国目前发现最早、最完整的乘法口诀表实物，这说明早在秦朝，我国就已熟练掌握乘法交换律，并将其用于社会生活所需的各种计数中。

不仅如此，九九乘法口诀可能起源于春秋战国时代，这是有史料证明的。《战国策》、《荀子》、《管子》等书中都有六六三十六、三九二十七等句，两千多年来，中国人从小就开始背诵的九九歌，在常人看来并不值得重视，人们还常常把心思多比喻成小九九。

里耶秦简改写了世界的数学发展史，西方最早的乘法口诀表是在1600多年前出现的，这说明我国发明乘法口诀表比西方早了600多年。

里耶秦简不仅刷新了乘法口诀的最早记录，还为我们揭开了另一个奥秘，那就是它为什么叫做九九乘法口诀表。

这枚简牍的正面释文为：

二二而四一二而二二半而一凡千一百一十三字。

乘法九九口诀简牍上的数字，每个竖行的数字连起来就是一个乘法运算，如四八三十二、五八四十、六八四十八等。

最为奇特的是，与传统的口诀表不同，这上面竟然还有二半而一的字样，这实际上已经是分数运算。

算筹

根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，也同样经历了一个漫长的历史发展过程。

在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。

算筹的出现年代已经不可考，但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。

算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，但至迟到春秋战国；算筹的使用已经非常普遍了。前面说过，算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？

那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是"十进制"，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是"位值制，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码"2"，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的荫芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。

按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。

中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一"，确实是一点也不过分的。

二进制思想的开创国

著名的哲学家数学家莱布尼茨(1646-1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。当代的许多科学家认为易经中并不含有复杂的二进制思想，可是这本中国古籍中的一些基本思想和二进制在很大程度上仍然有着千丝万缕的联系。

元始的《灵宝经》里面把阴阳定义为阳是自冬至到夏至的上升的气，阴为从夏至到冬至下降的气，这是对地球周期运动的最简练认识。阴阳是一种物质认识，后来转化为思想方式，反者道之动等等，都是这种思想的表现。从而开创了对立统一的思想方式，实际上计算机的电子脉冲的思想是与之一致的，采样定律也是与之一致的。

《易经》是我国伏羲、周文王等当政者积累观天测算经验而成的关于天象气象和人变易的经典，从八卦到六十四卦，就是二进制三位到六位表达，上世纪八十年代还有四位计算机，可以说，周文王的六十四卦在表达能力上已经高于四位计算机。

十进制的使用

《卜辞》中记载说，商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字，但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中还有奇数、偶数和倍数的概念。

十进位位值制记数法包括十进位和位值制两条原则，"十进"即满十进一；"位值"则是同一个数位在不同的位置上所表示的数值也就不同，如三位数"111"，右边的"1"在个位上表示1个一，中间的"1"在十位上就表示1个十，左边的"1"在百位上则表示1个百。这样，就使极为困难的整数表示和演算变得如此简便易行，以至于人们往往忽略它对数学发展所起的关键作用。

我们有个成语叫"屈指可数"，说明古代人数数确实是离不开手指的，而一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制（这一进位制到现在仍留有痕迹，如一分＝60秒等）另外还有采用二十进位制的。古代埃及倒是很早就用10进位制，但他们却不知道位值制。所谓位值制就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法，且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则，比如一百二十七。同时我们对0的认识最早。

十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价，"如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了"，李约瑟说"总的说来，商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。"

分数和小数的最早运用

分数的应用

最初分数的出现，并非由除法而来。分数被看作一个整体的一部分。"分"在汉语中有"分开""分割"之意。后来运算过程中也出现了分数，它表示两整数比。分数的加减乘除运算我们小学就已完全掌握了。很简单，是不是？不过在七、八百年以前的欧洲，如果你有这种水平那么就可以说相当了不起了。那时精通自然数的四则运算就已达到了学者水平。至于分数，对当时人来说简直难于上青天。德国有句谚语形容一个人陷入绝境，就说："掉到分数里去了"。为什么会如此呢？这都是笨拙的记数法导致的。在我国古代，《九章算术》中就有了系统的分数运算方法，这比欧洲大约早1400年。

西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则。

从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、除分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作。

分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度。实际上，印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使与刘徽的时代相比，我们也要比印度早400年左右。

小数的最早使用

刘徽在《九章算术注》中介绍，开方不尽时用十进分数（徽数，即小数）去逼近，首先提出了关于十进小数的概念。到公元 1300年前后，元代刘瑾所著《律吕成书》中，已将1063686312写成

把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台汶直到1585年才有十进小数的概念，且他的表示方法远不如中国先进，如上述的小数，他记成或106368。

九九表的使用

作为启蒙教材，我们都背过九九乘法表：一一得一、一二得二……九九八十一。而古代是从"九九八十一"开始，因此称"九九表"。九九表的使用，对于完成乘法是大有帮助的。齐恒公纳贤的故事说明，到公元前7世纪时，九九歌诀已不希罕。也许有人认为这种成绩不值一提。但在古代埃及作乘法却要用倍乘的方式呢。举个例子。如算23×13，就需要从23开始，加倍得到23×2，23×4，23×8，然后注意到13＝1＋4＋8，于是23＋23×4＋23×8加起来的结果就是23×13。从比较中不难看出使用九九表的优越性了。

根据考古专家在湖南张家界古人堤汉代遗址出土的简牍上发现的汉代"九九乘法表"，竟与现今生活中使用的乘法口诀表有着惊人的一致。这枚记载有"九九乘法表"的简牍是木质的，大约有22厘米长，残损比较严重。此前在湘西里耶古城出土的一枚秦简上也发现了距今2200多年的乘法口诀表，并被考证为中国现今发现的最早的乘法口诀表实物。

除了里耶秦简外，与张家界古人堤遗址发现的这枚简牍样式基本一致的"九九乘法表"还曾在楼兰文书中见到过，那是写在两张残纸上的九九乘法表，为瑞典探险家斯文赫定在上个世纪初期发掘。

乘法表在古代并非中国一家独有，古巴比伦的泥版书上也有乘法表。但汉字（包括数目字）单音节发声的特点，使之读起来朗朗上口；后来发展起来的珠算口诀也承继了这一特点，对于运算速度的提高和算法的改进起到一定作用。

负数的使用

人们在解方程或其它数的运算过程中，往往要碰到从较小数减去较大数的情形，另外，还遇到了增加与减小，盈余与亏损等互为相反意义的量，这样，人们自然地引进了负数。

负数的引进，是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。在我国古代秦、汉时期的算经《九章算术》的第八章"方程"中，就自由地引入了负数，如负数出现在方程的系数和常数项中，把"卖（收入钱）"作为正，则"买（付出钱）"作为负，把"余钱"作为正，则"不足钱"作为负。在关于粮谷计算的问题中，是以益实（增加粮谷）为正，损实（减少粮谷）为负等，并且该书还指出："两算得失相反，要以正负以名之"。当时是用算筹来进行计算的，所以在算筹中，相应地规定以红筹为正，黑筹为负；或将算筹直列作正，斜置作负。这样，遇到具有相反意义的量，就能用正负数明确地区别了。

在《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则，也就是书中解方程时用到的"正负术"即"同名相除，异名相益，正无入正之，负无入负之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。"这段话的前四句说的是正负数减法法则，后四句说的是正负数加法法则。它的意思是：同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减；同号两数相加，等于其绝对值相加；零加正数得正数，零加负数得负数，当然，从现代数学观点看，古书中的文字叙述还不够严谨，但直到公元17世纪以前，这还是正负数加减运算最完整的叙述。

在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。有许多数学家由于把零看作"没有"，他们不能理解比"没有"还要"少"的现象，因而认为负数是"荒谬的"。直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。

从上面可以看出，负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。负数概念引进后，整数集和有理数集就完整地形成了。

圆周率的计算

圆周率是数学中最重要的常数之一。对它的计算，可以作为显示出一个国家古代数学发展的水平的尺度之一。而我国古代数学在这方面取得了令世人瞩目的成绩。

我国古代最初把圆周率取作3，这虽应用起来简便，但太不准确。在求准确圆周率值的征途中，首先迈出关键一步的是刘徽。他创立割圆术，用圆内接正多边形无限逼近圆而求取圆周率值。用这种方法他求得圆周率的近似值为314，也有人认为他得到了更好的结果：31416。青出于蓝，而胜于蓝。后继者祖冲之利用割圆术得出了正确的小数点后七位。而且他还给出了约率与密率。密率的发现是数学史上卓越的成就，保持了一千多年的世界纪录，是一项空前杰作。