在中国，最早给出勾股定理证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。

据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》该书写了序言，并作了详细注释。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。他详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”。“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，

表达式

a2+b2=c2

在“规”、“矩”的有关记载中，最重要的命题就是勾股定理。勾股定理是我国早期数学史上最重大的发现之一。《周髀算经》记载，西周初期周公与商高讨论天文学问题时提到“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，即勾股形三边之比3：4：5，这是特殊形式的勾股定理。此外，该书还提到“环矩以为圆”的性质。《周髀算经》约成书于公元前一世纪，时代较晚。因此，有人怀疑该书所记周公与商高问答的可靠性。当然，有关勾股定理的发现时代问题。还需要更多的佐证。但联系到中国远古时代水利与建筑工程的复杂程度与所需的测量知识，我国很早就发现了一般形式的勾股定理，这是毋庸置疑的。

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。

毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

勾股定理的历史如下：

勾股定理是古希腊数学家勾轮(Pythagoras)于公元前六世纪发现的。他发现了一些奥妙的数学形式,其中最有名的就是“勾股定理”,他发现了一些几何图形的规律,发现:“正三角形的三个边的平方和等于斜边的平方”。勾股定理是一个被称为“宇宙的规律”的数学原理,它可以用来证明某些几何形状是等边或等腰的。

1、古代巴比伦和印度的类似概念

在提出勾股定理之前，古代巴比伦和印度已经有了与之相似的概念。他们知道一个三角形的三边之间存在特定的关系，但没有用具体公式进行表述。然而，这些早期文化对勾股定理的发展起到了一定的推动作用。

2、毕达哥拉斯的贡献

公元前6世纪的古希腊，数学家毕达哥拉斯首次提出了勾股定理，将其系统化地表达出来。据传，他成立了一个学派，以数学为基础研究自然科学，并将勾股定理作为该学派的核心内容之一。

3、勾股定理的证明及应用

在毕达哥拉斯学派中，人们开始试图证明勾股定理的正确性，并研究其应用。首次给出关于勾股定理证明的记录是由类似毕达哥拉斯的学派成员海普吉拉斯提出的。他给出了一个基于相似三角形的证明。

4、勾股定理的传播与发展

随着时间的推移，勾股定理逐渐被广泛传播并在数学领域得到应用。在中国，勾股定理早在西汉时期就有了记载，被称为“勾三股四弦五”。而在欧洲，它的传播则起源于希腊，并在文艺复兴时期得到进一步发展。

勾股定理作为数学中的重要定理，经历了古代巴比伦和印度对类似概念的探索，毕达哥拉斯的系统化表述以及后来的证明与应用阶段。如今，勾股定理已经成为数学教育中的基础知识，并在科学研究和实际应用中发挥着重要的作用。

勾股定律

据古籍记载，3000多年以前，有个叫商高的人对周公说：

如果勾是3，股是4，那么弦等于5。

人们还发现：

如果勾是6，股是8，那么弦等于10。

如果勾是5，股是12，那么弦等于13 ……等等。

而 32＋42＝52

62＋82＝102

52＋122＝132

即 勾2＋股2＝弦2

是不是所有的直角三角形都具有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不

同的方法证明了这个结论，我国把它称为勾股定理。

勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。

学习勾股定理时，注意以下两点：

(1)勾股定理反映了直角三角形之间的关系，它是直角三角形的又一性质。

(2)勾股定理的应用是已知直角三角形的两边，可以求第三边。因此，对勾股定理的各种表达形式要非常熟悉。

直角三角形的三边满足方程x^2+y^2=z^2，这个方程有无数多组解，我们可以构造任意一组勾股数组。

公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯的方法是：任取一个奇数，把它的平方分成差为1的两个数，这三个数为一组勾股数组，即取奇数2x+1，将其平方4x^2+4x+1分成2x^2+2x和2x^2+2x+1，那么2x+1、2x^2+2x、2x^2+2x+1为一组勾股数组。

显然，这个方法并不能求出所有的勾股数组。在《九章算术》里有一个更巧妙的方法：给定两数m、n,那么05(m^2-n^2),mn,05(m^2+n^2)为一勾股数组。

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解析:

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572～公元前497）（右图）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”。《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得： a2+b2=c2

亦即：c=（a2+b2）(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽（右图）用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。（左图为刘徽的勾股证明图）

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。