《什么是数学》是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。它是一本世界著名的数学科普读物。书中搜集了许多经典的数学珍品，给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。

　I·斯图尔特增写了新的一章，以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。

　本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。”

　——A·爱因斯坦

　本书既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。《什么是数学》是一本数学经典名著，它搜集了许多闪光的数学珍品，它们给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日，又由I·斯图尔特增写了新的一章。此第二版以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但如今已被解决了的。

　一个光辉的文献故事，《什么是数学》开启了一扇认识数学世界的窗口。

　“毫无疑问，这本书将会有深远的影响，它应当人手一册，无论是专业人员抑或是愿意做科学思考的任何人。”

　——纽约时报

　“一本极为完美的著作。”

　——数学评论

　“太妙了……这本书是巨大愉快和满足感的源泉。”

　——应用物理杂志

　“这本书是一部艺术著作。”

　——M·莫尔斯

　“这是一本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思路和方法，在《什么是数学》这本书中用最简单的例子使之清晰明了，已经达到令人惊讶的程度。”

　本书是世界著名的数学科普读物，它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。无论是数学专业人士，或是愿意作数学思考者都可以阅读此书。特别对中学数学教师，大学生和高中生，都是一本极好的参考书。

宋前:

《周髀算经》 战国时期 （公元前一世纪）

《九章算术》 汉 (公元一世纪前后)

《周髀算经 注》魏晋南北朝 (吴赵爽)

《九章算术 注》汉末魏初 (徐岳)

《九章算术 注》魏末晋初 (刘徽)

《九章重差图》 魏晋南北朝

《缉古算经》 唐王孝通

《算经十书》 唐李淳风等编纂

宋:

贾宪《黄帝九章算法细草》

刘益《议古根源》

秦九韶《数书九章》

李冶《测圆海镜》《益古演段》

杨辉《详解九章算法》《日用算法》《杨辉算法》

成就

我国公元前240年的彗星记载，被认为是世界上最早的哈雷彗星记录从那时起到1986年，哈雷彗星共回归了30次，我国都有记录。1973年，我国考古工作者在湖南长沙马王堆的一座汉朝古墓内发现了一幅精致的彗星图，图上除彗星之外，还绘有云、气、月掩星和恒星。天文史学家对这幅古图做了考释研究后，称之为《天文气象杂占》，认为这是迄今发现的世界上最古老的彗星图。早在2000多年前的先秦时期，我们的祖先就已经对各种形态的彗星进行了认真的观测，不仅画出了三尾彗、四尾彗，还似乎窥视到今天用大望远镜也很难见到的彗核，这足以说明中国古代的天象观测是何等的精细入微。

我国古代在创制天文仪器方面，也做出了杰出的贡献，创造性地设计和制造了许多种精巧的观察和测量仪器。我国最古老、最简单的天文仪器是土圭，也叫圭表。它是用来度量日影长短的，它最初是从什么时候开始有的，已无从考证。

此外，西汉的落下闳改制了浑仪，这种我国古代测量天体位置的主要仪器，几乎历代都有改进。东汉的张衡创制了世界上第一架利用水利作为动力的浑象。元代的郭守敬先后创制和改进了10多种天文仪器，如简仪、高表、仰仪等。

数学典籍

《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍,成书时间大约在两汉之间 (纪元之后)也有史家认为它的出现更早,是孕于周而成于西汉,甚至更有人说它出现在纪元前1000年

《九章算术》约成书于公元纪元前后,它系统地总结了我国从先秦到西汉中期的数学成就该书作者已无从查考,只知道西汉著名数学家张苍、耿寿昌等人曾经对它进行过增订删补全书分做九章,一共搜集了246个数学问题,按解题的方法和应用的范围分为九大类,每一大类作为一章

《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。

周 髀 算 经

《周髀算经》是我国最早的天 文著作，系统地记载了周秦以 来适应天文需要而逐步积累的 科技成果。该书的主要内容是 周代传下来的有关测天量地的 理论和方法。 《周髀算经》也是中国最古的 算书，成书确切年代没有定论， 一般认为在公元前2、3世纪。 李约瑟认为：“最妥善的办法 是把《周髀算经》看作具有周 代的骨架加上汉代的皮肉。”

勾 股 定 理

昔者周公问于商高曰：“窃闻 于大夫善数也，请问古者包牺 立周天历度，夫天不可阶而升， 地不可得尺寸而度，请问数安 从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩， 矩出于九九八十一。故折矩， 以为勾广三，股修四，径隅 五。”

勾 股 定 理

《周髀算经》中荣方与陈子的 一段对话中，则包含了勾股定 理的一般形式。 陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股 各自乘，并而开方除之，得邪 至日，…”

《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股 定理证明的数学家是三国时期的赵爽 （公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。

弦 图

《周髀算经》还记载了商高的 用矩之法：“平矩以正绳，偃 矩以望高，覆矩以测深，卧矩 以知远，环矩以为圆，合矩以 为方。”

九 章 算 术

《九章算术》成书于公元前后， 是我国最重要、影响最深远的 一本数学著作。后世不少人， 如刘徽、祖冲之、李淳风等人 均对《九章算术》作过注。特 别是刘徽的注，加进了不少自 己的精辟见解，阐述了重要的 数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的 重要补充和媒介。

九 章 算 术

日本数学家小苍金之助把《九 章算术》说成是中国的《几何 原本》。吴文俊教授也认为， 《九章算术》和刘徽的《九章 算术注》，在数学的发展历史 中具有崇高的地位，足可与希 腊的《几何原本》东西辉映， 各具特色。 《九章算术》全书共分9章， 246道题，体例采用问题集形 式。

第一章“方田”讲述有关平面图形 （土地田亩）面积的计算方法，包 括分数算法，38个问题。 [一]今有田广十五步，从十六步， 问为田几何？答曰：一亩。 [二]又有田广十二步，从十四步， 问为田几何？答曰：一百六十八步。 方田术曰：广从步数相乘得积步， 以亩法二百四十步除之，即亩数， 百亩为一倾。

[五]今有十八分之十二，问约之 得几何？答曰：三分之二。 [六]又有九十一分之四十九，问 约之得几何？答曰：十三分之七。 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约 之。

第二章“粟米”讲述有关粮食交换 中的比例问题。书中的“今有术” 给出比例式中已知三数求第四数的 方法，欧洲迟至15世纪才出现。第 三章“衰分”讲述配分比例和等差、 等比等问题。 第四章“少广”讲述由田亩面积求 边长，由球体积求经长的算法，这 是世界上最早的多位数开平方、开 立方法则的记载。

开 方 术

今有积五万五千二百二十五步， 问为方几何？答曰：二百三十 五步。 开方术曰：置积为实，借一算 步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除 已，倍法为定法。其复除，折 法而下。复置借算步之如初， 以复议一乘之。所得副之，以 加定法，以除，以所得副从定 法。复除折下如前。

第五章“商功”讲述各种土木工 程中的体积计算。我国自远古以 来，对筑城、挖沟、修渠等土建 工程积累了丰富的经验，创造了 许多有关土方体积计算和估算的 方法，本章即为经验和方法的理 论总结，诸如长方体、台体、圆 柱体、锥体等体积的计算公式都 与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。

第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。 第七章“盈不足”讲述算术中盈 亏问题的解法。盈不足术实际上 是一种线性插值法。该方法通过 丝绸之路传入阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为“契丹算法”。 后来传入欧洲，13世纪意大利数 学家斐波那契的《算经》一书中 专门有一章讲“契丹算法”。

方 程 术

第八章“方程”讲述线性方程组 的解法，还论及正负数概念及运 算方法。 中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在 《九章算术注》中指出：“程， 课程也。群物总杂，各列有数， 总言其实。令每行为率，二物者 再程，三物者三程，皆如物数程 之，并列为行，故谓之方程。”

方 程 术

今有上禾三秉，中禾二秉，下 禾一秉，实三十九斗；上禾二 秉，中禾三秉，下禾一秉，实 三十四斗；上禾一秉，中禾二 秉，下禾三秉，实二十六斗； 问上、中、下禾实一秉各几何？

正 负 术

正负数的加减运算法则：“同 名相除，异名相益，正无入负 之，负无入正之。其异名相除， 同名相益，正无入正之，负无 入负之。” “同名、异名”指“同号、异 号”，“相除、相益”指“绝 对值相减、相加”。前4句是 减法规则，后4句是加法规则。

李文林在《数学史教程》中指出： “对负数的认识是人类数系扩充 的重大步骤。如果说古希腊无理 量是演绎思维的发现，那么中算 负数则是算法思维的产物。中算 家们心安理得地接受并使用了这 一概念，并没有引起震撼和迷 惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度 数学家婆罗门及多，欧洲16世纪 时韦达等数学家的著作还回避使 用负数。

勾 股 术

第九章“勾股”在《周髀算经》中 勾股定理的基础上，形成了应用问 题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。 今有池方一丈，葭生其中央，出水 一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水 深、葭长各几何？答曰：水深一丈 二尺；葭长一丈三尺。 术曰：半池方自乘，以出水一尺自 乘，减之。余，倍出水除之，即得 水深。加出水数，得葭长。

刘 徽 的 数 学 成 就

刘徽，公元3世纪魏晋时人， 于公元263年撰《九章算术 注》。该书包含了刘徽本人的 许多创造，其中最突出的成就 是“割圆术”和求积理论。 割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆 内接正六边形出发将边数逐次 加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆合体而 无所失矣。”

刘徽用“割圆术”从圆内接正六 边形出发，算到圆内接正192边形， 得到圆周率约为314124，其精确 到小数点后两位的近似值 314=157/50，被称为“徽率”。 刘徽的面积、体积理论建立在一 条简单而又基本的原理之上，这 就是“出入相补原理”：一个几 何图形被分成若干部分后，面积 或体积的总和保持不变。刘徽利 用这条原理成功地证明了《九章 算术》中的许多面积公式。

刘徽在推证《九章算术》中的一些体 积公式时，灵活地使用了两种无限小 方法：极限方法与不可分量方法。比 如，“阳马”（一种特殊的四棱锥） 体积公式便是用极限方法推导出来的， 而球体积公式的推导则使用了不可分 量方法。 为计算球体积公式，刘徽将两个等边 圆柱垂直相交时的公共部分称为“牟 合方盖”，并证明了球体积与其外切 的牟合方盖的体积比是π/4。但他未能 求得牟合方盖的体积。

祖 冲 之 的 数 学 成 就

祖冲之（公元429—500）活跃于南 朝宋、齐时代，出生于历法世家， 本人做过南徐州（镇江）从事史和 公府参军，都是地位不高的小官， 但他却成为历代为数不多能名列正 史的数学家之一。 祖冲之最大的数学成就是对圆周率 的精确计算。得出了圆周率的上限31415927（盈数），下限 31415926（肭数）。另外还得出了 圆周率的两个分数形式的近似值约 率22/7，和密率（祖率）355/113。

史料上没有关于祖冲之推算圆周 率方法的记载，一般认为是沿用 了刘徽的“割圆术”。刘徽用 “割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192边形，得到 圆周率约为314124，如果用这一 方法算到圆内接正24576边形，便 得到圆周率在31415926和 31415927之间。祖冲之在圆周率 的计算方面领先于西方近千年。 为了纪念祖冲之的贡献，20世纪 的日本天文学家将自己发现的一 颗行星以祖冲之的名字命名。

从东汉以来，有关球体积的计算公 式，经过张衡、刘徽等人的努力， 最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成，成为中国数学史上的一件大事。祖 氏父子的这一成就，被唐代李淳风 记录在自己的《九章算术注》中，才使人们得以了解其具体的研究方 法。祖氏父子利用“两等高几何体， 若在任意同一高度上的截面积均相等，则它们的体积相等”这一原理， 求得牟合方盖的体积，然后利用刘 徽的结果，得到了球体积公式。

祖暅还明确总结出了“幂势既 同，则积不容异”这样一条求 积原理。该原理现被称为“祖 暅原理”。事实上，刘徽也使 用过这一原理，只是未能将其 概括为一般形式。这一原理在 西方被称为卡瓦列里原理，但 他17世纪前叶才提出，比祖暅 迟了1100多年。

算 经 十 书

出于官方数学教育的需要，唐 高宗亲自下令对以前的数学著 作进行整理。公元656年由李 淳风负责编定了算经十书： 《周髀算经》、《九章算术》、 《孙子算经》、《五曹算经》、 《张邱建算经》、《夏候阳算 经》、《缉古算经》、《海岛 算经》、《五经算术》和《缀 术》，后因《缀术》失传，而 以《数术记遗》替代。

孙 子 算 经

[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上 有三十五头，下有九十四足。 问雉、兔各几何？答曰：雉二 十三，兔一十二。 术曰：上置头，下置足，半其 足，以头除足，以足除头，即 得。 [物不知数]今有物，不知其数。 三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几 何？答曰：二十三。

孙 子 歌

明代数学家程大位的《算法统 宗》中所载的“孙子歌”以诗 歌形式介绍了物不知数问题的 解法：“三人同行七十稀，五 树梅花廿一枝，七子团圆整半 月，除百零五便得知。” 这一问题的解法后经秦九韶推 广到一般情形，被称为“孙子 定理”，又称为“中国剩余定 理”。

宋 元 数 学

宋元时期（960-1368）的杰出 数学家秦九韶、杨辉、李冶、 朱世杰被称为“宋元四大家”。 宋元时期的数学代表著作有 《数书九章》（秦九韶）、 《详解九章算法》（杨辉）、 《益古演段》（李冶）和《四 元玉鉴》（朱世杰）等

问题：求满足的

N ≡r (m p1) ≡r2(m p2) ≡ ≡rn(m pn) od od 1 od

大 衍 总 数 术

最小自然数N。 ◆设 M = ∏ pi ， M i = M / pi 求乘率 M i′ 使 M i′ M i ≡ 1(mod pi ) 则总数

N ≡ M1′Mr +M2′M2r2 +L+Mn′Mnrn(mod p) 11

中 国 剩 余 定 理

秦九韶的算法非常严密，但他并没 有对这一算法给出证明。到18、19 世纪欧拉（1743）和高斯（1801） 分别对一次同余式组进行了详细研 究，重新独立地获得了与秦九韶 “大衍术”相同的定理，并对模数 两两互素的情形给出了严格证明。 高斯的成果是最完整的，他还解决 了模不是两两互素时的情形。1876 年德国人马蒂生首先指出秦九韶的 算法与高斯的算法是一致的，因此 关于这一算法被称作“中国剩余定 理”。

西 方 数 学 的 传 入

《四元玉鉴》是中国古代数学的绝 唱，明代以后中国数学逐渐衰弱。 而当16、17世纪，近代数学在欧洲 蓬勃兴起的时候，中国数学就更加 明显地落后了。 西方数学的传入从明朝开始。1602 年（明万历34年），利玛窦与徐光 启合译了《几何原本》前6卷，几 何、三角、对数等传入国内。徐光 启对《几何原本》的评价极高： “此书为益，能令学理者祛其浮气、 练其精心，学事者资定其法、发其 巧思，故举世无一人不当 学。”“此书有四不必，不必疑、 不必揣、不必试、不必改。”

元代中期数学高峰过后，由于社 会周 髀 算 经

《周髀算经》是我国最早的天 文著作，系统地记载了周秦以 来适应天文需要而逐步积累的 科技成果。该书的主要内容是 周代传下来的有关测天量地的 理论和方法。 《周髀算经》也是中国最古的 算书，成书确切年代没有定论， 一般认为在公元前2、3世纪。 李约瑟认为：“最妥善的办法 是把《周髀算经》看作具有周 代的骨架加上汉代的皮肉。”

勾 股 定 理

昔者周公问于商高曰：“窃闻 于大夫善数也，请问古者包牺 立周天历度，夫天不可阶而升， 地不可得尺寸而度，请问数安 从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩， 矩出于九九八十一。故折矩， 以为勾广三，股修四，径隅 五。”

勾 股 定 理

《周髀算经》中荣方与陈子的 一段对话中，则包含了勾股定 理的一般形式。 陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股 各自乘，并而开方除之，得邪 至日，…”

《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股 定理证明的数学家是三国时期的赵爽 （公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。

弦 图

《周髀算经》还记载了商高的 用矩之法：“平矩以正绳，偃 矩以望高，覆矩以测深，卧矩 以知远，环矩以为圆，合矩以 为方。”

九 章 算 术

《九章算术》成书于公元前后， 是我国最重要、影响最深远的 一本数学著作。后世不少人， 如刘徽、祖冲之、李淳风等人 均对《九章算术》作过注。特 别是刘徽的注，加进了不少自 己的精辟见解，阐述了重要的 数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的 重要补充和媒介。

九 章 算 术

日本数学家小苍金之助把《九 章算术》说成是中国的《几何 原本》。吴文俊教授也认为， 《九章算术》和刘徽的《九章 算术注》，在数学的发展历史 中具有崇高的地位，足可与希 腊的《几何原本》东西辉映， 各具特色。 《九章算术》全书共分9章， 246道题，体例采用问题集形 式。

第一章“方田”讲述有关平面图形 （土地田亩）面积的计算方法，包 括分数算法，38个问题。 [一]今有田广十五步，从十六步， 问为田几何？答曰：一亩。 [二]又有田广十二步，从十四步， 问为田几何？答曰：一百六十八步。 方田术曰：广从步数相乘得积步， 以亩法二百四十步除之，即亩数， 百亩为一倾。

[五]今有十八分之十二，问约之 得几何？答曰：三分之二。 [六]又有九十一分之四十九，问 约之得几何？答曰：十三分之七。 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约 之。

第二章“粟米”讲述有关粮食交换 中的比例问题。书中的“今有术” 给出比例式中已知三数求第四数的 方法，欧洲迟至15世纪才出现。第 三章“衰分”讲述配分比例和等差、 等比等问题。 第四章“少广”讲述由田亩面积求 边长，由球体积求经长的算法，这 是世界上最早的多位数开平方、开 立方法则的记载。

开 方 术

今有积五万五千二百二十五步， 问为方几何？答曰：二百三十 五步。 开方术曰：置积为实，借一算 步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除 已，倍法为定法。其复除，折 法而下。复置借算步之如初， 以复议一乘之。所得副之，以 加定法，以除，以所得副从定 法。复除折下如前。

第五章“商功”讲述各种土木工 程中的体积计算。我国自远古以 来，对筑城、挖沟、修渠等土建 工程积累了丰富的经验，创造了 许多有关土方体积计算和估算的 方法，本章即为经验和方法的理 论总结，诸如长方体、台体、圆 柱体、锥体等体积的计算公式都 与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。

第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。 第七章“盈不足”讲述算术中盈 亏问题的解法。盈不足术实际上 是一种线性插值法。该方法通过 丝绸之路传入阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为“契丹算法”。 后来传入欧洲，13世纪意大利数 学家斐波那契的《算经》一书中 专门有一章讲“契丹算法”。

方 程 术

第八章“方程”讲述线性方程组 的解法，还论及正负数概念及运 算方法。 中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在 《九章算术注》中指出：“程， 课程也。群物总杂，各列有数， 总言其实。令每行为率，二物者 再程，三物者三程，皆如物数程 之，并列为行，故谓之方程。”

方 程 术

今有上禾三秉，中禾二秉，下 禾一秉，实三十九斗；上禾二 秉，中禾三秉，下禾一秉，实 三十四斗；上禾一秉，中禾二 秉，下禾三秉，实二十六斗； 问上、中、下禾实一秉各几何？

正 负 术

正负数的加减运算法则：“同 名相除，异名相益，正无入负 之，负无入正之。其异名相除， 同名相益，正无入正之，负无 入负之。” “同名、异名”指“同号、异 号”，“相除、相益”指“绝 对值相减、相加”。前4句是 减法规则，后4句是加法规则。

李文林在《数学史教程》中指出： “对负数的认识是人类数系扩充 的重大步骤。如果说古希腊无理 量是演绎思维的发现，那么中算 负数则是算法思维的产物。中算 家们心安理得地接受并使用了这 一概念，并没有引起震撼和迷 惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度 数学家婆罗门及多，欧洲16世纪 时韦达等数学家的著作还回避使 用负数。

勾 股 术

第九章“勾股”在《周髀算经》中 勾股定理的基础上，形成了应用问 题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。 今有池方一丈，葭生其中央，出水 一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水 深、葭长各几何？答曰：水深一丈 二尺；葭长一丈三尺。 术曰：半池方自乘，以出水一尺自 乘，减之。余，倍出水除之，即得 水深。加出水数，得葭长。

刘 徽 的 数 学 成 就

刘徽，公元3世纪魏晋时人， 于公元263年撰《九章算术 注》。该书包含了刘徽本人的 许多创造，其中最突出的成就 是“割圆术”和求积理论。 割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆 内接正六边形出发将边数逐次 加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆合体而 无所失矣。”

刘徽用“割圆术”从圆内接正六 边形出发，算到圆内接正192边形， 得到圆周率约为314124，其精确 到小数点后两位的近似值 314=157/50，被称为“徽率”。 刘徽的面积、体积理论建立在一 条简单而又基本的原理之上，这 就是“出入相补原理”：一个几 何图形被分成若干部分后，面积 或体积的总和保持不变。刘徽利 用这条原理成功地证明了《九章 算术》中的许多面积公式。

刘徽在推证《九章算术》中的一些体 积公式时，灵活地使用了两种无限小 方法：极限方法与不可分量方法。比 如，“阳马”（一种特殊的四棱锥） 体积公式便是用极限方法推导出来的， 而球体积公式的推导则使用了不可分 量方法。 为计算球体积公式，刘徽将两个等边 圆柱垂直相交时的公共部分称为“牟 合方盖”，并证明了球体积与其外切 的牟合方盖的体积比是π/4。但他未能 求得牟合方盖的体积。

祖 冲 之 的 数 学 成 就

祖冲之（公元429—500）活跃于南 朝宋、齐时代，出生于历法世家， 本人做过南徐州（镇江）从事史和 公府参军，都是地位不高的小官， 但他却成为历代为数不多能名列正 史的数学家之一。 祖冲之最大的数学成就是对圆周率 的精确计算。得出了圆周率的上限31415927（盈数），下限 31415926（肭数）。另外还得出了 圆周率的两个分数形式的近似值约 率22/7，和密率（祖率）355/113。

史料上没有关于祖冲之推算圆周 率方法的记载，一般认为是沿用 了刘徽的“割圆术”。刘徽用 “割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192边形，得到 圆周率约为314124，如果用这一 方法算到圆内接正24576边形，便 得到圆周率在31415926和 31415927之间。祖冲之在圆周率 的计算方面领先于西方近千年。 为了纪念祖冲之的贡献，20世纪 的日本天文学家将自己发现的一 颗行星以祖冲之的名字命名。

从东汉以来，有关球体积的计算公 式，经过张衡、刘徽等人的努力， 最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成，成为中国数学史上的一件大事。祖 氏父子的这一成就，被唐代李淳风 记录在自己的《九章算术注》中，才使人们得以了解其具体的研究方 法。祖氏父子利用“两等高几何体， 若在任意同一高度上的截面积均相等，则它们的体积相等”这一原理， 求得牟合方盖的体积，然后利用刘 徽的结果，得到了球体积公式。

祖暅还明确总结出了“幂势既 同，则积不容异”这样一条求 积原理。该原理现被称为“祖 暅原理”。事实上，刘徽也使 用过这一原理，只是未能将其 概括为一般形式。这一原理在 西方被称为卡瓦列里原理，但 他17世纪前叶才提出，比祖暅 迟了1100多年。

算 经 十 书

出于官方数学教育的需要，唐 高宗亲自下令对以前的数学著 作进行整理。公元656年由李 淳风负责编定了算经十书： 《周髀算经》、《九章算术》、 《孙子算经》、《五曹算经》、 《张邱建算经》、《夏候阳算 经》、《缉古算经》、《海岛 算经》、《五经算术》和《缀 术》，后因《缀术》失传，而 以《数术记遗》替代。

孙 子 算 经

[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上 有三十五头，下有九十四足。 问雉、兔各几何？答曰：雉二 十三，兔一十二。 术曰：上置头，下置足，半其 足，以头除足，以足除头，即 得。 [物不知数]今有物，不知其数。 三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几 何？答曰：二十三。

孙 子 歌

明代数学家程大位的《算法统 宗》中所载的“孙子歌”以诗 歌形式介绍了物不知数问题的 解法：“三人同行七十稀，五 树梅花廿一枝，七子团圆整半 月，除百零五便得知。” 这一问题的解法后经秦九韶推 广到一般情形，被称为“孙子 定理”，又称为“中国剩余定 理”。

宋 元 数 学

宋元时期（960-1368）的杰出 数学家秦九韶、杨辉、李冶、 朱世杰被称为“宋元四大家”。 宋元时期的数学代表著作有 《数书九章》（秦九韶）、 《详解九章算法》（杨辉）、 《益古演段》（李冶）和《四 元玉鉴》（朱世杰）等

问题：求满足的

N ≡r (m p1) ≡r2(m p2) ≡ ≡rn(m pn) od od 1 od

大 衍 总 数 术

最小自然数N。 ◆设 M = ∏ pi ， M i = M / pi 求乘率 M i′ 使 M i′ M i ≡ 1(mod pi ) 则总数

N ≡ M1′Mr +M2′M2r2 +L+Mn′Mnrn(mod p) 11

中 国 剩 余 定 理

秦九韶的算法非常严密，但他并没 有对这一算法给出证明。到18、19 世纪欧拉（1743）和高斯（1801） 分别对一次同余式组进行了详细研 究，重新独立地获得了与秦九韶 “大衍术”相同的定理，并对模数 两两互素的情形给出了严格证明。 高斯的成果是最完整的，他还解决 了模不是两两互素时的情形。1876 年德国人马蒂生首先指出秦九韶的 算法与高斯的算法是一致的，因此 关于这一算法被称作“中国剩余定 理”。

西 方 数 学 的 传 入

《四元玉鉴》是中国古代数学的绝 唱，明代以后中国数学逐渐衰弱。 而当16、17世纪，近代数学在欧洲 蓬勃兴起的时候，中国数学就更加 明显地落后了。 西方数学的传入从明朝开始。1602 年（明万历34年），利玛窦与徐光 启合译了《几何原本》前6卷，几 何、三角、对数等传入国内。徐光 启对《几何原本》的评价极高： “此书为益，能令学理者祛其浮气、 练其精心，学事者资定其法、发其 巧思，故举世无一人不当 学。”“此书有四不必，不必疑、 不必揣、不必试、不必改。”

元代中期数学高峰过后，由于社 会制度等种种原因，数学发展速 度减慢，有的数学领域（如天元 术）甚至出现中断、失传现象。 虽然西方初等数学传入，但发展 速度却大大落后于同时代突飞猛 进的欧洲各国。而西方现代数学 的传入则是从清朝才开始的。对 此作出重要贡献的是李善兰和华 衡芳等人。

李善兰（1811—1882），浙江海 宁人，是中国近代著名数学家。 李善兰的著作有《方圆阐幽》、 《古昔斋算学》、《考数根法》、《垛积比类》等；译作有《代微 积拾级》、《代数学》、《几何 原本》后9卷，《圆锥曲线说》等。 李善兰发明的“尖锥术”、“垛 积术”具有独创性。

1859年李善兰与英国传教士伟烈亚 力（Wylie）合译《几何原本》后9 卷，及《代微积拾级》，创立的一些中文数学名词影响深远，如：代 数学、微分、积分、曲率、极大、 无穷、级数、方程、根等。 清政府于1862年创办京师同文馆。 这是中国历史上的第一所新学堂， 开始只学外语和汉语，1867年设天 文算学馆，1868年聘李善兰为算学 总教习。学习内容包括：代数学、 几何原本、三角学、微积分等。