勾股定理

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　　在初二我们将初步学习勾股定理

　　勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

　　在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a的平方＋b的平方＝c的平方;，即αα+bb=cc

　　推广：把指数改为n时，等号变为小于号

　　据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年

　　勾股数：是指能组成a^+b^=c^的三个正整数称为勾股数

　　实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

　　勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）

　　人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

　　欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

　　从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

　　勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

　　若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

　　如此等等。

　　附录

　　《周髀算经》简介

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　　《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。

　　伽菲尔德证明勾股定理的故事

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　　1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

　　于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

　　如下:

　　解：勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，

　　a^2;+b^2;=c^2;

　　说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。

　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25

　　则说明斜边为5。

　　勾股定理

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　　第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？练习：如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A 12 B 13 C 144 D 194 1、在△ABC中,∠C =Rt∠ (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积 = (2) 若a =5,c =13则b = (3) 若c =61,b =11则a = (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b = (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = cm，BC 2 = cm2 2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm则斜边上的高等于 cm 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 cm 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = cm 5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC cm, AB= cm, AC= cm 6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。 7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。

　　8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

　　A、25 B、14 C、7 D、7或25

　　9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是

　　A 小丰认为指的是屏幕的长度; B 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;

　　C 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D 售货员认为指的是屏幕对角线的长度

　　10、

　　二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？

　　练习：

　　三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )

　　A 等边三角形; B 钝角三角形; C 直角三角形; D 锐角三角形

　　1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。

　　2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）

　　（A） 直角三角形 (B)锐角三角形

　　（B） (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

　　已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度

　　3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

　　各具特色的证明方法

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　　三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。

　　最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

　　下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

　　如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

　　下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。

　　欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

　　(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

　　同理，(BC)2=KEBL

　　所以

　　(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

　　印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

　　婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

　　c/b=b/m，

　　c/a=a/n,

　　cm=b2

　　cn=a2

　　两边相加得

　　a2+b2=c(m+n)=c2

　　这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

　　有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得

　　即

　　a2+2ab+b2=2ab+c2

　　a2+b2=c2

　　这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。

　　关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。

　　证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。

　　过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为

　　AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

　　所以 △ACE≌△AGB

　　SAEML=SACFG (1)

　　同法可证

　　SBLMD=SBKHC (2)

　　(1)+(2)得

　　SABDE=SACFG+SBKHC，

　　即 c2=a2+b2

　　证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。

　　SCFGH=SABED+4×SABC，

　　所以 a2+b2=c2

　　证法3 如图26-4（梅文鼎图）。

　　在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设

　　五边形ACKDE的面积=S

　　一方面，

　　S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积

　　=c2+ab (1)

　　另一方面，

　　S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积

　　+2倍△ABC面积

　　=b2+a2+ab (2)

　　由(1)，(2)得

　　c2=a2+b2

　　证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。

　　设五边形EKJBD的面积为S。一方面

　　S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

　　另一方面，

　　S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK

　　=b2+ab+a2

　　由(1)，(2)

　　得出论证

　　都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http://ettedaeducom/21010000/vcm/0720ggdldoc

　　勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg163com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410Cgif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg163com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCBgif

　　勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

　　勾股定理在我们生活中有很大范围的运用

泱泱华夏,历经千载,可称为名著的实在数不胜数,以下只是其中一小部分,仅供参考吧!

屈原集》�(战国)屈原著

《陶渊明集》�(晋)陶渊明著

《李白集》�(唐)李白著�

《杜甫集》�(唐)杜甫著�

《白居易集》�(唐)白居易著�

《柳永集》�(北宋)柳永著�

《苏轼集》�(北宋)苏轼著�

《历代名赋集锦》�唐仁编�

《历代骈文集锦》�唐仁编�

《历代散文集绵》�唐仁编�

《唐诗菁华》�(清)孙洙编�

《宋词菁华》�(清)孙洙编�

《元曲菁华》�(清)孙洙编�

《三国演义》�(明)罗贯中著�

《水浒传》�(明)施耐庵著�

《西游记》�(明)吴承恩著�

《红楼梦)�(清)曹雪芹著�

《儒林外史》�(清)吴敬梓著�

《聊斋志异》�(清)蒲松龄著�

《封神演义》�(明)许仲琳编著�

《东周列国志》�(明)冯梦龙著�

《官场现形记》�(清)李宝嘉等�

《镜花缘》�(清)李汝珍著�

《荡寇志》�(清)俞万春著�

《喻世明言》�(明)冯梦龙编著�

《警世通言》�(明)冯梦龙编著�

《醒世恒言》�(明)冯梦龙编著�

《初刻拍案惊奇》�(明)凌蒙初著�

《二刻拍案惊奇》�(明)凌蒙初著�

《二十年目睹之怪现状》�(清)吴沃尧著�

《品花宝鉴》�(清)陈森著�

《绿野仙踪》�(清)李百川著�

《西厢记》�(元)王实甫著�

《牡丹亭》�(明)汤显祖著�

《长生殿》�(清)洪■著�

《桃花扇》�(清)孔尚任著�

老舍

1 《老张的哲学》

2 《赵子曰》

3 《二马》

4 《小坡的生日》

5 《离婚》

6 《牛天赐传》

7 《驼骆祥子》

8 《文博士》

9 《火葬》

10 《四世同堂》

11 《鼓书艺人》

12 《无名高地有了名》

13 《正红旗下》

14 《猫城记》

15 《赶集》

16 《樱海集》

17 《蛤藻集》

18 《火车集》

19 《贫血集》

20 《集外》

21 《龙须沟》

22 《方珍珠》

23 《春华秋实》

24 《西望长安》

25 《残雪》

26 《张自忠》

27 《茶馆》

28 《女店员》

29 《面子问题》

30 《大地龙蛇》

31 《归去来兮》

32 《谁先到了重庆》

33 《全家福》

34 《宝船》

35 《神拳》

36 《荷珠配》

37 《火车上的威风》

38 《柳树井》

39 《青霞丹雪》

40 《青蛙骑手》

41 《曲艺》

42 《新诗》

43 《旧体诗》

44 《散文集》

45 《文学概论讲义》

46 《老牛破车》

47 《秦氏三兄弟》

茅盾

1《子夜》

2《蚀》

3《创造》

4《自杀》

5《诗与散文》

6《色盲》

7《虹》

8《腐蚀》

9《霜叶红似二月花》

10《霜叶红似二月花续稿》

11《多角关系》

12《小巫》

13《林家铺子》

14《春蚕》

15《石蝎》

16《锻炼》

17《有志者》

18《大鼻子》

19《烟云》

20《手的故事》

21《水藻行》

22《报施》

鲁迅

1《坟》

2《热风》

3《呐喊》

4《彷徨》

5《野草》

6《朝花夕拾》

7《故事新编》

8《华盖集》

9《华盖集续编》

10《而已集》

11《三闲集》

12《二心集》

13《南腔北调集》

14《伪自由书》

15《准风月谈》

16《花边文学》

17《且介亭杂文》

18《且介亭杂文二集》

19《且介亭杂文末编》

20《集外集》

21《集外集拾遗》

22《集外集拾遗补编》

23《中国小说史略》

24《汉文学史纲要》

25《古籍序跋集》

26《译文译跋集》

27《两地书》

28《鲁迅书集》

29《鲁讯日记》

（二）

沈从文

1． 《鸭子》(小说部分)

2．《蜜柑》

3．《老实人》

4． 《入伍后》

5．《雨后及其他》

6．《山鬼》

7． 《十四夜间》

8．《篁君日记》

9．《好管闲事的人》

10．《龙朱》

11．《石子船》

12．《沈从文甲集》

13．《一个女剧员的生活》

14．《沈从文子集》

15．《虎雏》

16．《都市一妇人》

17．《凤子》

18．《一个母亲》

19．《月下小景》

20．《阿黑小集》

21．《如蕤集》

22．《游目集》

23．《边城》

24．《八骏图》

25．《新与旧》

26．《主妇集》

27．《长河》

28．《小砦及其它》

29．《新摘星录》

30．《芸庐纪事》

31．《雪晴》

32．《福生》

33．《在别一个国度里》

34．《采蕨》

35．《神巫之爱》

36．《旅店及其他》

37．《夫妇》

38．《鸭子》(散文部分)

39．《记胡也频》

40．《从文自传》

41．《湘行散记》

42．《湘西》

43．《法步集》

44．《非梦集》

45．《新景与旧谊》

46．《水云集》

47．《新晴集》

48．《序跋集》

49．《沫沫集》

50．《昆明冬景》

51．《烛虚》

52．《废邮存底》

53．《续废邮存底》

54．《新废邮存底》

55．《创作杂谈》

56．《文学运动杂谈》

57．《艺术教育》

58．《新烛虚》

郭沫若

1．《新诗》

2．《旧体诗》

3．《古诗今译》

4．《历史剧》

5．《散文》

6．《小说》

7．《自传》

（周而复）著

上海的早晨(上)

上海的早晨(下)

（赵树理）著

三里湾

李家庄的变迁

（欧阳山）著

三家巷

（孙 犁）著

风云初记

（丁 玲）著

太阳照在桑干河上

（雪 克）著

战斗的青春

（周立波）著

暴风骤雨

（杜鹏程）著

保卫延安

（贾 芝）主编

延河儿女

（欧阳山）著

苦斗

（杨 沫）著

青春之歌

（冯 志）著

敌后武工队

（李英儒）著

野火春风斗古城

（李晓明、韩安庆）著

平原枪声

（知 侠）著

铁道游击队

（魏 巍）著

地球的红飘带

（冯德英）著

苦菜花

迎春花

（马 锋、西 戎）著

吕梁英雄传

（吴 强）著

红日

（曲 波）著

林海雪原

（刘 流）著

烈火金钢

（梁 斌）著

红旗谱

（高玉宝）著

高玉宝

（林 雪）著

双枪老太婆

（罗广斌、杨益言）著

红岩

（萧三）主编

革命烈士诗抄

命烈士诗抄续编

（孔厥、袁静）著

新儿女英雄传

《七略》是西汉刘歆编制的，现已是我国古代最早的综合性国家图书分类目录。

辩章学术、考镜源流：章学诚认为“辨章学术,考镜源流”即分清学术源流,考究学术渊源;（目录要体现学术史和科学分类的有关内容,才能更好地为学术研究服务。）

古籍数据库：1《中国基本古籍库》（《中国基本古籍库》由北京爱如生数字化技术研究中心开发制作）2《瀚堂典籍数据库》北京时代瀚堂科技公司3《中文古籍数据库》中央研究院汉籍电子文献4《龙语瀚堂》龙戴特信息技术公司5《书同文古籍数据库》北京海淀开发区认证的高科技企业和软件企业6《国学宝典》清华大学的网络技术研制