最早的勾股定理原来出自中国！

被称为“改变世界面貌的十个数学公式”之首的勾股定理，很多人都不陌生吧。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。但在中国，商朝的商高就已经提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，就记载在《周髀算经》中。

《周髀算经》是我国最古的天文算法，利用圭表原理，观测晷影极游，利用勾股方法推步日月行度，把八尺表的勾股法和原始的宇宙观、天圆地方的想法相结合，昼观日中的晷，夜看北极，以测天地的大小，或根据太阳位置，知道季节的变化，一年的长度，定八节二十四气，说明历法之所以产生。

《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们

图1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：

勾2+股2=弦2

亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

图2 勾股圆方图

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

1、勾股之学出自《周髀算经》。

2、公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

3、公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。

4、在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。

勾股之学出自《周髀算经》。

《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

《周髀算经》的采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，包括四季更替，气候变化，包涵南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。

《周髀算经》的历史

假设我们把《周髀算经》的本文限定为商高与周公的问答，似乎其成书年代也就不难断定了。可是，乾嘉以后，考据之学兴起，疑古之风日盛，到了现代，几乎所有的中外学者都不得不接受这样的推断：不仅商高是后人假托的，甚至陈子也是后人虚构出来的。于是，仅仅把商高问答看作《周髀算经》本文就不再有任何意义了。

因此，许多学者都将陈子问答以后的文字作为《周髀算经》全文的一个部分，不再加以区分。如此一来，人们开始根据《周髀算经》中的内容推断它的成书年代。通常的方法可以分成两类：天文学史专家，喜欢利用现代天文学手段，根据《周髀算经》中记录的一些特殊的天文现象或数据，推算其应该出现的年代，并以此来确定其成书时代。

例如，日本学者能田忠亮便以《周髀算经》中的北极星（北极璇玑）到北天极的距离．归算出其成书年代大约在公元前5到7世纪之间。

相信很多人都像我一样从小接受很多以祖国伟大历史文明为中心的爱国主义教育，其中一条就是中国人最早发现了勾股定理，过了好几百年才被毕达哥拉斯发现。结果西方人管它叫“毕达哥拉斯定理”，对中国人真是不公平。百度一下“勾股定理”，不难发现许多相同论调。譬如，上就说：“他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。”事实真的是这样吗？当然，你已经知道，我要说的是“根本不是”。不但不应当有这样的争议，而且简直是瞎胡扯。我国最早记载勾股定理的是《周髀算经》，成书年代是公元前一世纪的西汉。“句广三，股修四，径隅五”就是书中的一句。有些人误解，认为这只是给出了一个特例，实际上并非如此，书中确实给了平方和的定理形式。因为在之后又说“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”这句话看不懂吧？确实不太看得懂，不过最后两个字“积矩”不难理解，就是平方和的意思。这件事确实挺有意思。因为《周髀算经》的写法挺有趣，不是直接告诉大家这个道理，而是这样写的：“在一千年前的周公年代，有个人叫商高，他教给周公这个数学上的道理。他对周公说：……啦啦啦，勾三股四弦五，啦啦啦，耶！”于是就有人说：瞧，是周公时代中国人发现的，比毕达哥拉斯造了500年！还有人更过分（不过不太多见）。刚才那段话还没完，教周公的商高还接着说了一句：“周公啊，您知道吗？这个道理一千年前的大禹他老爷子在治水时就知道了！”…………………………于是就比毕达哥拉斯早了1500年…………………………问得好，没有任何证据表明这件事情，也是公元五世纪的人追溯回去的。所以呀，还是比中国早了两百年。