论文我不会写，给你找了点资料，看看。

李泽厚判定：中华文明的源头是原始巫术/原始宗教。那不对。因为原始巫术之前，肯定还有一个上古原始数学文明的时间段——原始巫术时期驱邪祈福的人们，对杀了几头羊、几个人领舞等“数学问题”，早已烂熟于心了。

∴从最严格的“时间点”角度看，中华文明的源头=第一个智慧人学会/发明“数数（123……）”的那个瞬间。“数数”之后，就是“记数+识数+算数”。

从次严格的“时间段”角度看，中华文明的源头=发明/创立了最原始的 “数数、记数、识数、算数”之学（上古原始数学）的那个时间段。

推而广之，可得如下二个公理：

公理一：人类任何古文明的源头都是上古原始数学。没有上古原始数学的地方/国度，就不存在古文明。上古原始数学是宗教、哲学、文学艺术和科学之母。一句话，上古原始数学是百科之母（简称数学是百科之母）。

公理二：任何古文明的古代数学（都）=上古数学+下古数学。不同文明，“上下”的时间分界点不同。上古数学和下古数学当然都可细分。比如，中国的上古数学可分为上古原始数学+夏数学+商数学+周数学。

对中华文明来说，以《易经（周易）》诞生的那一天为界，中国的古代数学=（《易经》前的）上古数学+（《易经》到明朝的）下古数学。

下面开始“速写”中国古代数学的整体面貌及其巨大价值。

（一）吴文俊杨振宁与下古数学

中国现代数学史上，大数学家亲自下大功夫研究中国古代数学的，可能只有吴文俊一人。

吴文俊说：“我这辈子最得意的事，就是对中国古代数学的研究。中国古代数学着重解方程，解决各式各样的问题，着重计算，这是不同于外国数学的，这种算法式的数学，是计算机时代最适合、最现代化的数学。”

吴文俊开启了中国（下古）数学史研究的新阶段，不得不让全世界重新认识中国古代数学的巨大价值。他最重要的研究结论是：中国古代（下古）数学与希腊演绎式数学相并行，是数学发展的另一条主流。

如果艺术一下吴文俊的研究结论，那就用俞平伯在《红楼梦辨》中评价林黛玉和薛宝钗的话好了——“双峰对峙，二水分流； 各尽其妙，莫能上下。”

然而，吴文俊的研究结论，就是在中国，都没几个人知道，外国就别说了。这是1840至今中国“精英”文化自卑引发的文化自残乃至文化自宫的又一个缩影。

杨振宁在“2004文化高峰论坛”做过一个著名演讲——《易经》对中华文化的影响。其核心观点是：易经和中华文化里有归纳法无演绎法。该演讲，在中国文化界和科技界引起重大反响，对国外文化界和科技界如何“立论”研究并判定中国文化和中国科技史，影响也一定会非常大。（演讲可能与间接回答李约瑟难题有关……）

注意，从吴文俊“中国古代（下古）数学与希腊演绎式数学相并行”这句结论可以看出，吴文俊也认为中国下古数学没有演绎法。杨振宁和吴文俊那么杰出的大脑，都认为中国下古数学没有演绎法，诺！

问题是：中国的上古数学有没有演绎法？

“上古数学母”有二个鼎鼎有名的“儿子”，一个是历法，一个是中医。

衍生问题一：夏朝之前的天皇氏时就发明了干支和干支历，其后是夏历、商历、周历……中国历史上一共产生过102部历法。如果没有演绎法，能制定出那么精确的历法吗？

衍生问题二：如果中医典籍中不存在演绎法的“清泉”，那研究中医理论多年的钱学森，为什么会判定中医是超前科学？

只有二种可能。一是上古数学没有演绎法，二是有演绎法却在夏商周文化断代中失传了。

（二）赵致生与上古数学

夏传子家天下。夏商周的上古时代，图谋“家天下万岁”的政治原因（天子可以垄断任何好东西秘传为家天下万岁服务）+战争（流血的政治）原因，导致夏商周文化的断代——断掉了上古数学和中医理法等许多精华，连非常成熟的甲骨文都彻底断掉/废除了。

夏商周断代工程（我国“九五”重点课题，1996516开题，2000915结题）——组织了历史学、考古学、文献学、古文字学、历史地理学、天文学和测年技术学等领域的170名重量级研究人员联合攻关，旨在研究和排定中国夏商周时期的确切年代，为研究中国五千年文明史（远不止5000年）创造条件。

非常不幸的是，夏商周断代工程的研究人员里，没有研究中国古代数学的顶级专家，违反了数学是百科之母的公理，研究成果肯定不完美。

非常幸运的是，赵致生（在民间）坐了40年冷板凳挖掘/还原了上古数学的大框架。他还把《易经》前的中国上古历史分为“磊石结绳+河图洛书+天圆地方+周天历度”四个时代/四个阶段（对中国远不止五千年文明史的上古史，给出一种分期和研究框架）。

上古数学（赵致生命名为属性数学）大框架=太极+阴阳+三焦+四象+五行+六气+七阶+八卦+九宫。这是《易经》前的中华超级智者乃至有超级特异功能者发明的一整套认识世界和改造世界的数学方法论，却因夏商周文化断代，造成“三焦+七阶+九宫”等数学方法论/理法失传了3000多年。

赵致生的文章证明，中国的上古属性数学有演绎法。或然率推理用的就是演绎法。或然率推理=从（全息的）多种可能性中，最终推理出一个唯一的必然性事件。

∵数学是百科之母∴上古数学方法论失传的后果极其严重——对《易经》后下古时代的所有学问，都造成或大或小的缺失。

比如，目前的《中医基础理论》大学教科书里，关于“中医的哲学/理法基础”部分，只有阴阳五行，没有/失传了“三焦+四象+六气+七阶+八卦+九宫”。 即使是“五行”，同上古数学的五行相比，也存在巨大差异。作为“六腑”之一的“三焦”，只有《黄帝内经》里的“上焦如雾，中焦如沤，下焦如渎。”这12个字到底是什么意思，至今莫衷一是。

尽管中医基础理法残缺不全了3000多年，中医在2003抗非典和2020抗新冠病毒的战役中，疗效＞＞西医。如果把失传的上古数学理法“还给”中医，中医会有多牛，连阿Q和祥林嫂都一清二楚吧？

又比如，失传后被还原的中国上古几何，分“点线面体系”五个维度。“点”有大小属性，“线”有粗细属性，故可完美解释独一无二的中国书画艺术，用西方几何的点线理论去解释，无异于盲人摸象。

既然中国的下古数学是“与希腊演绎式数学相并行”的二大主流之一，那么加上赵致生还原的上古数学，则中国的古代数学就应该是人类古代数学的主流。又∵数学是百科之母∴中国古代的所有学问（尽管因上古数学的部分失传造成部分缺失），都应该是人类古代文化/文明的主流。李约瑟的《中国科学技术史》可提供旁证。

由此可得一个无比重要的CY（承扬）推论：

承扬中国古代数学特别是承扬上古数学，是纲举目张的千年大计。∵逻辑上讲，所有夏商周文化断代引发的下古学问的缺失，都可通过研究得以有效弥补（纠错立正）——这是个意义极大的系统工程，不但能重构/复兴领先全球的中华基础文化大厦，而且还能为实现人类命运共同体提供无比强大的基础软实力。

比如，赵致生用上古属性数学解读甲骨文汉字的“上古文化密码”，独一无二，妙不可言。行文至此，我突然想到，用上古数学方法论和AI等技术相结合 破解至今认不出的3000多个甲骨文汉字，很可能是个大研究课题。多破解一个字，就多能弄明白一些至今都读不懂的古籍里的字句。

（三）任继愈学术遗言与上古数学

悟性极高的任继愈学术遗言（2009）=中国哲学的出路，在中医学，中医学出路，在中国哲学。

任继愈学术遗言，指向了上面的CY推论（参见拙文《任继愈学术遗言与太九哲学》）。完善中国哲学、中医学、中国其它古代学问的理论武器/方法论/钥匙，只能是上古属性数学。

特别遗憾的是，杨振宁、吴文俊、钱学森、任继愈都不知道赵致生还原的、属于中华民族和全人类的中国上古属性数学瑰宝，因为主流媒体根本就没有报道/介绍过。

但愿墙内开花墙外香不再重演！

（四）中国古代数学可以大大促进人类第四次工业革命

华为领跑的5G技术的普及，拉开了人类第四次工业革命的序幕。AI是主角。

在AI科研方面，正“时尚”着文理多学科交叉研究，必须承认，美国走在最前面。

2010，美国资深投资家尼古拉斯·博古睿在洛杉矶成立博古睿研究院（独立无党派智库），致力于将各个文化学科中最顶尖的学者汇聚一堂，探讨科技、管理和哲学问题——还给哲学家设了个百万美元的博古睿奖，号称哲学界的“诺贝尔奖”。

20181219，北大成立了博古瑞研究院中国中心（！？），20203，出了一本《智能与智慧：人工智能遇见中国哲学家》的书。（如果中国哲学家经过了上古属性数学的洗心革面，那结果……）

2019看过一新闻，美国斯坦福大学李飞飞教授领导的AI研究课题，其研究人员，都是美国理工科和文科领域里最顶级的专家。

由此推断，中国上古数学可以大大促进人类第四次工业革命。

如果中国的自然科学家、社会科学家、人文科学家同时掌握了中西方二种数学里最基本的方法论，一定会如虎添翼！真掌握了，中国科学家的创新成果就会层出不穷；中国的大学就会逐渐成为全世界青年向往的圣地；人类命运共同体就会吸引住越来越多的地球人……

综上述，中国古代数学亟待承扬！希望体制内的某个著名科研单位/中国的伟大企业家发起成立中国古代数学研究院（跨学科超级智库），对任继愈学术遗言等N多重大问题展开科学研究。

这是中国的千年大计，也是人类的千年大计。

创立者当然会名垂青史，远不止此……

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中华文明上下5000年，在各个方面有着辉煌的成就，其中就包括数学方面，古代华夏的数学家提出了一些非常重要的定理和公式，有的甚至领先于欧洲上千年，比如剩余定理，就出自《孙子算经》（成书大约在4、5世纪），欧洲直到19世纪高斯才推论出剩余定理，但他看了由传教士带回的《孙子算经》，认为中国人提出这个定理要比他早上1400年左右。

还有祖暅原理（等幂等积定理）的提出，西方直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里发现，只是比较可惜没有被祖暅真正证明出来；再就是祖冲之用割圆术算出了圆周率小数点后7位数字，这要比欧洲人要早上个几百年。

然而数学是一门系统基础科学，由很多方面的知识组成，总体而言，古代华夏的数学水平从来没有处于领先世界的水平。

刘徽(约225年-295年)的《九章算术注》和《海岛算经》，可以代表古代华夏的顶尖数学水平，刘徽是东汉初写成的《九章算术注》，里面提出了246个问题的解法，包括联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等。

但是，不可否认的是，古希腊人是数学的奠基者，他们使用逻辑证明、演绎法，强调量化和系统化，使数学成为一门严密的系统的富有逻辑性的学科。直到现在，人们使用的数学方法，大部分来源于古希腊。

谈到古希腊的数学，有一个人绝对不可绕开，他就是欧几里得（公元前325年－公元前265年），他著有《几何原本》，奠定了后世数学的严密基础。这本书在2000多年来，一直作为数学标准教科书。直到今天，全世界的小学、初中数学教科书中关于几何的内容，差不多全部来自《几何原本》。

丢番图（公元200──284）作著的丛书《算术》，差不多和刘徽是同时代，被称为“代数之父”，现代代数的一些方法和原理，都是由他提出来的。

当然古希腊数学也绕不开阿基米德，现代微积分就是在他的研究成果上发展起来的，“阿基米德螺线”曲线就是以他来命名，有人甚至把阿基米德和牛顿、高斯并列为有史以来最伟大的数学家。

在刘徽之后，宋元时期的数学也有一些发展，但也是注重在极个别的定理和公式上，而不是系统性地有所突破，这种情况到了欧洲文艺复兴时期后，与西方的数学水平进一步拉大，间接的影响就是从科技方面从此远远落后于欧洲。

自从洋务运动开始后，现代数学才让一些国内学者所了解，才知道了在数学方面与世界水平相差太远，但在老一辈数学家陈景润、华罗庚、冯康、吴文俊等人的奋起直追下，现在，我们的数学水平已经渐渐赶上了世界水平。

1、《周髀算经》

原名《周髀》，《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》 。

2、《九章算术》

由246个与实际生活密切相关的应用题及其解法所构成，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，内容涉及初等数学中的算术、代数、几何等，包括分数概念及其运算、比例问题的计算、开平方和开立方的运算、负数概念、正负数加减运算、联立一次方程的解法等。

3、《几何原本》

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。

4、《算术研究》

《算术研究》是著名数学家高斯的代表作品，是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系统的整理，并积极加以推广，给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。

5、《自然哲学的数学原理》

科学巨匠牛顿的《自然哲学的数学原理》可谓是不朽巨著，整个著作体现了牛顿探索自然的精神：从实验提供的基本定律出发，通过数学演绎论证，建立完整的科学体系，进一步解决各种实际问题。而书中需要迫切解决的问题，更是促进了微积分的发展。

中国古代重要的数学著作有：

1、《九章算术》九卷，是现存最早的中国古代数学著作之一，《算经十书》中最重要的一种。其作者已不可考。《九章算术》内容丰富，题材广泛，共九章，分为二百四十六题二百零二术，不但是汉代重要的数学著作，在中国和世界数学史上也占有重要的地位。

2、《周髀算经》也简称《周髀》，是中国古代一本数学专业书籍。《周髀算经》是中国历史上最早的一部天文历算著作，也是中国流传至今最早的数学著作，是后世数学的源头。

3、《缉古算经》，原名《缉古算术》，初唐数学家王孝通著于武德九年〔626年〕前所著。后被列入算经十书，改名为《缉古算经》。

《缉古算经》一书在中国数学史上有重要影响，王孝通在书中将几何问题代数化，在世界上首次系统地创立三次多项式方程，对代数学的发展，有重要意义。

4、《张邱建算经》上、中、下三卷，北魏数学家张邱建著。隋刘孝孙细草。唐朝时被李淳风定为《算经十书》之一。清朝乾隆年间，将张邱建算经的北宋刊本收入《四库全书》子部六，共一百条。

5、《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量学著作，原为《刘徽九章算术注》第九卷勾股章内容的延续和发展，名为《九章重差图》。《海岛算经》“使中国测量学达到登峰造极的地步”，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”（美国数学家弗兰克·斯委特兹语）。

中国数学起源于上古至西汉末期，中国数学的全盛时期是隋中叶至元后期。接下来在元后期至清中期，中国数学的发展缓慢。

十七个成就

纵观中国数学发展史，中国古代在数学方面的成就其实也算足以开一座陈列馆，这里就我认为最瞩目的17个成就列举如下：

(1)十进位制记数法和零的采用。

十进位制记数法在我国原始社会就已经形成，完成于奴隶社会初期的商代，到商代已发展为完整的十进制系统，并且有了“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。1899年从河南安阳发掘出来的象形文字，说明我国在公元前1600年，已经采用了十进位值制记数法，早于第二发明者印度1000多年。0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。

“0”这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点(·)表示零，后来逐渐变成了“0”。

0在我国古代叫做金元数字，(意即极为珍贵的数字)，说起“0”的出现，应该指出，我国古代文字中，“零”字出现很早，使用也较广泛。

(2)二进位制思想起源。源于《周易》中的八卦法，早于第二发明者德国数学家莱布尼兹(公元1646—1716)2000多年。

著名的哲学家、数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。从《易经》可以看到二进制的起源，中国古代的二进制运用与现代电子计算机中的运用相同。我国上古的伏羲时代就有了《周易》，《周易》是研究日月之间的变化的一门科学，通过卦爻来说明天地之间、日月系统以内人生与事物变化的大法则，就借助了二进制手段。

(3)几何思想起源。源于战国时期墨翟的《墨经》，早于第二发明者欧几里德(公元前330—前275)100多年。

著名的《墨经》中给出了某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“ 平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。

《墨经》中有8条论述了几何光学知识，它阐述了影、小孔成像、平面镜、凹面镜、凸面镜成像，还说明了焦距和物体成像的关系，这些比古希腊欧几里德(约公元前330—275)的光学记载早百余年。在力学方面的论说也是古代力学的代表作。对力的定义、杠杆、滑轮、轮轴、斜面及物体沉浮、平衡和重心都有论述。而且这些论述大都来自实践。《墨经》光学八条，反映了春秋战国时期我国物理学的重大成就。

(4)勾股定理(商高定理)。发明者商高(西周人)，早于第二发明者毕达哥拉斯(公元前580—前500)550多年。

勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理(英文：Pythagorean

theorem或Pythagoras's

theorem)是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在中国，在公元前1000多年前，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。目前初中数学教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

赵爽弦图

青朱出入图

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

(5)幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代的《论语》和《书经》，而在国外，幻方的出现在公元2世纪，我国早于国外600多年。

幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国，宋代数学家杨辉称之为纵横图。幻方的幻在于：无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的，即在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和或积都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，

中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图。又叫“纵横图”。

在中国古典文献《易经》中记载了洛书的传说：公元前23世纪大禹治水之时，一只巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有9种花点的图案，分别代表1,2,3,4,5,，6,7,8,9这9个数，而3行、3列以及两对角线上各自的数之和均为15，世人称之为洛书。

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：

“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar

Bachet提出的方法早三百余年。

三阶幻方。射雕英雄传里黄蓉也背过这段三阶幻方的口诀。

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3-10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。

(6)分数运算法则和小数。中国完整的分数运算法则出现在《九章算术》中，它的传本至迟在公元1世纪已经出现。印度在公元7世纪才出现了同样的法则，并被认为是此法的“鼻祖”。我国早于印度500多年。

中国运用最小公倍数的时间则早于西方1200年。运用小数的时间，早于西方1100多年。

(7)负数的发现。这个发现最早见于《九章算术》，这一发现早于印度600多年，早于西方1600多年。

据史料记载，早在两千多年前,我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。刘徽第一次给出了区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑;否则以邪正为异”。

我国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之;其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”

除《九章算术》定义有关正负运算方法外，东汉末年刘烘(公元206年)、宋代扬辉(1261年)也论及了正负数加减法则，都与九章算术所说的完全一致。特别值得一提的是，元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外，还给出了关于正负数的乘除法则。负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。在印度，数学家婆罗摩笈多于公元628年才认识负数。直到十七世纪荷兰人日拉尔(1629年)才首先认识和使用负数解决几何问题。

(8)盈不足术。又名双假位法。最早见于《九章算术》中的第七章。在世界上，直到13世纪，才在欧洲出现了同样的方法，比中国晚了1200多年。

盈不足术是我国古代计算盈亏类问题的一种算术方法，借有余、不足以求隐含之数，为《周礼》九数之一。《九章算术·盈不足》：“今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四。问：人数、物价各几何答曰：七人，物价五十三。”。在11—13世纪一些阿拉伯数学家的著作中，也出现了盈不足术，并称之为天秤术或契丹算法。当时阿拉伯人所说的“契丹”,即指中国，这也说明古代中国的盈不足术处于世界前沿。

(9)方程术。与现今不同，线性方程组在古代称为方程，其解法称为方程术。最早出现于《九章算术》中，其中解联立一次方程组的方法，早于印度600多年，早于欧洲1500多年。在用矩阵排列法解线性方程组方面，我国要比世界其他国家早1800多年。

(10)最精确的圆周率“祖率”。中国数学家刘徽在注释《九章算术》时(公元263年)只用圆内接正多边形就求得π的近似值，得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术，其中有求极限的思想。南北朝时代的数学家祖冲之利用割圆术进一步得出精确到小数点后7位的π值(公元466年)，给出不足近似值31415926和过剩近似值31415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值，欧洲直到十六世纪德国人鄂图(valentinus

otto)和荷兰人安托尼兹(aanthonisz)才得出同样结果;这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

(11)等积原理。又名“祖暅”原理。保持世界纪录1100多年。

等积原理是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅(数学家、天文学家)首先提出来的。他同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪，是祖暅对世界数学的杰出贡献。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即“等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等”，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利﹝Bonavent

uraCavalieri﹞发现，比祖暅晚一千一百多年。

(12)二次内插法。隋朝天文学家刘焯最早发明，早于“世界亚军”牛顿(公元1642—1727)1000多年。

我国古代早就发明了内插法(内插法是用一组已知的未知函数的自变量的值和与它对应的函数值来求一种未知函数其它值的近似计算方法，是一种数值逼近求法，天文学上和农历计算中经常用的是白塞尔内插法。内插法当时称为招差术，如公元前1世纪左右的《九章算术)中的“盈不足术”即相当于一次差内插(线性内插);公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式(抛物线内插);这在数学史上是一项杰出的创造，唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式;元朝作《授时历》的郭守敬进一步发明了三次差内插法。在刘焯1000年后，郭守敬400年后，英国牛顿才提出内插法的一般公式。

(13)增乘开方法。增乘开方法为中国古代数学中求高次方程数值解的一般方法，在现代数学中又名“霍纳法”。

我国宋代数学家贾宪最早发明于11世纪，比19世纪英国数学家霍纳提出的时间早800年左右。它由11世纪的贾宪首创，中经12世纪的刘益，到13世纪秦九韶最后完成，19欧洲出现的霍纳法的步骤以及现代数学中综合除法的原理与它相同。该方法由《九章算术》的开方术衍生而来，经过贾宪、刘益、杨辉等人的推广和传播，到13世纪被发展成为求高次方程数值解的系统方法，秦九韶、李冶、朱世杰的著作中都有记载，其中以秦九韶的《数书九章》论述最为详细。霍纳在1819年发表的《解所有次方程》论文中的算例，其算法程序和数字处理都远不及五百多年前的秦九韶有条理;秦九韶算法不仅在时间上早于霍纳，也比较成熟。增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来，现存英国剑桥大学图书馆。

(14)杨辉三角。杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，实际上是一个二项展开式系数表。它本是贾宪创造的，见于他著作《黄帝九章算法细草》中，后此书流失，南宋人杨辉在他的《详解九章算法》中又编此表，故名“杨辉三角”。

杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。

在世界上除了中国的贾宪、杨辉，第二个发明者是法国的数学家帕斯卡(公元1623—1662)，他的发明时间是1653年，比贾宪晚了近600年。

(15)中国剩余定理。又称孙子定理，是中国古代求解一次同余式组的方法。中国剩余定理，实际上就是解联立一次同余式的方法。这个方法最早见于《孙子算经》，1801年德国数学家高斯(公元1777—1855)在《算术探究》中提出这一解法，西方人以为这个方法是世界第一，称之为“高斯定理”，但后来发现，它比中国晚1500多年，因此为其正名为“中国剩余定理”，

它是数论中一个重要定理。

(16)数字高次方程方法，又名“天元术”。 中国古代求解高次方程的方法。13世纪，高次方程的数值解法是数学难题之一。

天元术是中国古代的代数学方法之一种，是中国古代建立高次方程的方法。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》中，系统地介绍了用天元术建立二次方程，并巧妙地把它表达在筹算中。元代数学家王恂广泛使用天元术解高次方程。这个方法早于世界其他国家300年以上，为以后出现的多元高次方程解法打下很好的基础。

(17)招差术。招差术即高次内插法，是现代计算数学中一种常用的插值方法，也就是高阶等差级数求和方法。从北宋起中国就有不少数学家研究这个问题，到了元代，朱世杰首先发明了招差术，使这一问题得以解决。在世界上，比朱世杰晚近400年之后，牛顿才获得了同样的公式。中国古代关于高阶等差数列和的差分能否相分于求内插公式的方法。朱世杰的《四元玉鉴》(1303)卷中“如像招数”中的问题都是讨论招差问题的。

其中朱世杰给出了一个四次招差公式：

这与牛顿插值公式一致，但牛顿提出这一公式晚于朱世杰三百多年。

招差术的创立、发展和应用是中国数学史和天文学史上具有世界意义的重大成就。

总的来说，中国古代的数学发展缺乏公理化体系。而这恰恰是从初等数学到高等数学发展的瓶颈。中国数学从一开始就没有向公理化发展的倾向，更多的是对某类具体问题的解法或者对某类规律的归纳。而西方数学家的代表人物欧几里得所做的最重要的工作可以说就是几何学的公理化。《几何原本》就是以数个不证自明的公理为基础的公理化体系的著作。这种方式建立的所谓数学的和谐之美、简洁之美。这位古希腊数学家对整个欧洲科学都影响深远。牛顿最重要的著作《自然哲学的数学原理》就是沿用的这种公理化体系的过程。对现象的描述，再把这类有规律的现象整理为最基本的数个公理、定律，再运用这些定律解释更复杂的现象。其最更根本的便是万有引力定律，以及三大运动定律。以当时的水平来讲，这样就足以“预言万物的运动”了。

另外，中国古代数学水平的落后是和整个科技水平的落后也是联系在一起的，两者是共进共退的。中国古代科技水平的衰落那就是另一个大问题了。

参考文献：

1《探究勾股定理》同济大学出版社

2《 神奇的纵横图》 王前卫

3《九章算术》张苍 耿寿昌

4《杨辉三角与棋盘形街道走法》 琚国起有

　　“四部”之名，源于初唐，初唐官方藏书分为经史子集四个书库，号称“四部库书”，或“四库之书”。经史子集四分法是古代图书分类的主要方法，它基本上囊括了古代所有图书。

　　如最著名的《四库全书》的收录书籍如下：

　　四库全书的内容

　　《四库全书》的内容是十分丰富的。按照内容分类分经、史、子、集四部分，部下有类，类下有属。全书共4部44类66属。　

　　经部收录儒家“十三经”及相关著作，包括易类、书类、诗类、礼类、春秋类、孝经类、五经总义类、四书类、乐类、小学类等10个大类，其中礼类又分周礼、仪礼、礼记、三礼总义、通礼、杂礼书6属，小学类又分训诂、字书、韵书3属；　

　　史部收录史书，包括正史类、编年类、纪事本末类、杂史类、别史类、诏令奏议类、传记类、史钞类、载记类、时令类、地理类、职官类、政书类、目录类、史评类等15个大类，其中诏令奏议类又分诏令、奏议2属，传记类又分圣贤、名人、总录、杂录、别录5属，地理类又分宫殿疏、总志、都会郡县、河渠、边防、山川、古迹、杂记、游记、外记10属，职官类又分官制、官箴2属，政书类又分通制、典礼、邦计、军政、法令、考工6属，目录类又分经籍、金石2属；　

　　子部收录诸子百家著作和类书，包括儒家类、兵家类、法家类、农家类、医家类、天文算法类、术数类、艺术类、谱录类、杂家类、类书类、小说家类、释家类、道家类等14大类，其中天文算法类又分推步、算书2属，术数类又分数学、占侯、相宅相墓、占卜、命书相书、阴阳五行、杂技术7属，艺术类又分书画、琴谱、篆刻、杂技4属，谱录类又分器物、食谱、草木鸟兽虫鱼3属，杂家类又分杂学、杂考、杂说、杂品、杂纂、杂编6属，小说家类又分杂事、异闻、琐语3属；

　　集部收录诗文词总集和专集等，包括楚辞、别集、总集、诗文评、词曲等5个大类，其中词曲类又分词集、词选、词话、词谱词韵、南北曲5属。除了章回小说、戏剧著作之外，以上门类基本上包括了社会上流布的各种图书。就著者而言，包括妇女，僧人、道家、宦官、军人、帝王、外国人等在内的各类人物的著作。

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》。

1、周髀算经

《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一。中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。 《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理。

《周髀算经》的采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包涵南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。

2、九章算术

《九章算术》其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。

它是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。

3、海岛算经

《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。

4、五曹算经

《五曹算经》是算经十书的一种，古代中国数学著作。一般认为由北周甄鸾所作，李淳风等为之作注。甄鸾通历法，曾编《天和历》,于566年颁行。“五曹”是指五类官员。

其中"田曹"所收的问题是各种田亩面积的计算，“兵曹”是关于军队配置、给养运输等的军事数学问题,“集曹”是贸易交换问题，“仓曹”是粮食税收和仓窖体积问题，“金曹”是丝织物交易等问题。全书共收67个问题，其数学内容没有超出《九章算术》的内容。其南宋刻本，收藏于北京大学图书馆。

5、孙子算经

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作。成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。

参考资料：

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　　中国古代数学辉煌史

　　中国古代数学的萌芽

　　原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的

　　陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。

　　西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址

　　的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具

　　。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。

　　商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用

　　十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴

　　、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。

　　公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、

　　股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记

　　数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

　　春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发

　　展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。

　　战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家

　　认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(

　　无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，

　　万世不竭”等命题。

　　而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、

　　方、平、直、次(相切)、端(点)等等。

　　墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限

　　分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

　　名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果

　　。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

　　中国古代数学体系的形成

　　秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，

　　它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。

　　《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是

　　世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、

　　盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(

　　特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发

　　展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

　　《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来

　　的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。

　　这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固

　　封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战

　　国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合

　　的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。

　　《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十

　　进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的

　　发展。

　　中国古代数学的发展

　　魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析

　　义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注

　　，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代

　　数学体系奠定了理论基础。

　　赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充

　　的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图

　　证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式

　　，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。

　　刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的

　　数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他

　　的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程

　　中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率

　　为 157/50和 3927/1250。

　　刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问

　　题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。

　　东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数

　　学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他

　　们的数学工作主要有：计算出圆周率在31415926～31415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次

　　方程的解法等。

　　据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这

　　个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在

　　圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；

　　祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其

　　任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理

　　，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

　　隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木

　　工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不

　　用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础

　　。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。

　　唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李

　　淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂

　　的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经

　　》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算

　　学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。

　　算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹

　　速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和

　　珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优

　　点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横

　　列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。

　　唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书

　　书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运

　　算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

　　中国古代数学的繁荣

　　960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术

　　突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第

　　一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。

　　从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，

　　刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章

　　算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学

　　的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。

　　从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九

　　章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开

　　方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发

　　现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的

　　帕斯卡三角形早提出600多年。

　　把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类

　　乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程

　　的最早例子。

　　秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次

　　数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种

　　类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母

　　，常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二

　　位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多

　　年。

　　元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”

　　题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的

　　内插公式。

　　用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号

　　，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。

　　从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今

　　，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。

　　朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各

　　次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，

　　其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然

　　后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这

　　是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。

　　勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形

　　的方法，补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个

　　容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。

　　已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解

　　球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、

　　沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整个

　　推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。

　　中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算

　　术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已

　　出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元

　　代。

　　宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，

　　数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义

　　。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务

　　类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思

　　想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑

　　是促进数学发展的重要因素。

　　中西方数学的融合

　　中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考

　　试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。

　　16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战

　　争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初

　　，近代数学研究才真正开始。

　　从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言

　　杂字》和《鲁班木经》的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭

　　必需用品列入一般的木器家具手册中。

　　随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀

　　；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱

　　载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大

　　位的著作在国内外流传很广，影响很大。

　　1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《

　　测量法义》一卷，与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年，徐光启被礼部任命督修历法，在

　　他主持下，编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学

　　说的数学基础，希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同

　　时介绍进来。

　　在传入的数学中，影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分

　　数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不

　　当学”。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作颇有影响。

　　其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大

　　测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方

　　法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有

　　这些，在当时历法工作中都是随译随用的。

　　1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤

　　柞据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有比例对

　　数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。

　　后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中

　　通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。

　　清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书

　　辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中

　　的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现

　　了生机。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方学的著作。

　　清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。

　　1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。

　　1721年完成《律历渊源》100卷，以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负

　　责，分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面

　　几何平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等

　　数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究有一定影响。

　　综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果

　　，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了。

　　雍正即位以后，对外闭关自守，