假设现在给定一个正方形BEGF。这道题目本身并没有难度，关键在于楼主不允许使用全等。

即便如此，可以把题目看成以H为动点在GF上移动，HE为边长，做一个正方形AEHI，因为H点是移动的，相应的A点也会跟着移动，但我可以和楼主保证，当H点移动到G点时，此刻AG=2BG或AB=BG，因为他们满足了各自之间的垂直关系。当H点移动到F点时，A点与B点重合。

根据以上的观点，得知正方形ABCD的边长是变化的。这样就满足了a^2+b^2=c^2前提，即我给你一个定量（假设是b），那么a的取值就随c的变化而变化。因为H点在GF上移动这个限制，所以也导致了AB的变化范围必须是在（0-b）之间。

如果楼主只是认为a、b、c是相较于边长，那么此题就显得毫无意义。关键是刘徽采用拓补的思路，即正方形AEHI=正方形ABCD+正方形BEFG。

在达成以上共识后，我们再来讨论拓补对于勾股定理的意义。我们假设AG与IH的交点为O

思路：

首先楼主限定了我不能用全等，那根据平行线之间成比例的关系。我们将三角形HEF旋转90度。使得，点A、E、H在同一直线上。此时，点B、E、F也在同一直线上，并且HF//AB，这样我们就能得到HF=AB=a（这个不是全等，这个是平行线之间，线段成比例的概念）你也可以认为这是将三角形HEF拓补到整个图形的右侧。

其实只要证明出AB=HF=a，那么GH=b-a，此题几乎已经破解。我们假设AG与IH的交点为O，那么根据平行线之间线段成比例的概念，我们可以将线段OG，GH，OH分别表示用a和b表示出来。

此时正方形AEHI的面积相当于三角形AIO，三角形ABE，三角形BOE，三角形EOH面积之和，且这些三角形都是直角三角形，个边长都可以用代数a和b表示出来，而正方形AEHI本身的面积就是c^2，所以不用担心会出现恒等式的情况。（注意只要将4个直角三角形的面积相加，不要列出等式，因为这本来就是相等的，肯定会是恒等式的概念，即A-B=0）

 证闭

关键我们要从这个问题中看见本质，其实就是H点在GF上移动，问你正方形边长AB与HF之间的关系，我们一但抓住本质，就很容易把这个问题想清楚。

这和我们生活中遇到很多情况都是一样的，为人处事但求一个明确的思路，看清问题的本质很有利于提升我们自己的效率，从而脱颖而出。

据《周髀算经》说，陈子等人的确以勾股定理为工具，求得了太阳与镐京之间的距离。为了达到这个目的，他还用了其他一系列的测量方法。

陈子用一只长8尺，直径01尺的空心竹筒来观察太阳，让太阳恰好装满竹筒的圆孔，这时候太阳的直径与它到观察者之间距离的比例正好是竹筒直径和长度的比例，即1比80。

经过诸如此类的测量和计算，陈子和他的科研小组测得日下60000里，日高80000里，根据勾股定理，求得斜至日整10万里。这个答案现在看来当然是错的。但在当时，陈子对他的方案充分信心。他进一步阐述这个方案：在夏至或者冬至这一天的正午，立一根8尺高的竿来测量日影，根据实测，正南1000里的地方，日影15尺，正北1000里的地方，日影17尺。这是实测，下面就是推理了。

越往北去，日影会越来越长，总有一个地方，日影的长会正好是6尺，这样，测竿高8尺，日影长6尺，日影的端点到测竿的端点，正好是10尺，是一个完美的“勾三股四弦五”的直角三角形。

这时候的太阳和地面，正好是这个直角三角形放大若干倍的相似形，而根据刚才实测数据来说，南北移动1000里，日影的长短变化是01尺，那由此往南60000里，测得的日影就该是零。也就是说从这个测点到“日下”，太阳的正下方，正好是60000里，于是推得日高80000里，斜至日整10万里。接下来，陈子又讲天有多高地有多大，太阳一天行几度，在他那儿都有答案。

陈子根本没有想到这一切都是错的。他要是知道他脚下大得没边的大地，只不过是一个小小的寰球，体积是太阳的一百三十万分之一，就像飘在空中的一粒尘土，真不知道他会是什么表情。

书的昀后陈子说：一年有365天4分日之一，有12月19分月之7，一月有29天940分日之499。这个认识，有零有整，而且基本上是对的。现在大家都知道一年有365天，好像不算是什么学问，但在那个时代，陈子的学问不是那么简单的，虽然他不是全对。

勾股定理的应用，在我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中也有记载：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溢的灾害，也是应用勾股定理的结果。

勾股定理在几何学中的应用非常广泛，较早的案例有《九章算术》中的一题：有一个正方形的池塘，池塘的边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的高度各多少？

这是一道很古老的问题，《九章算术》给出的答案是“12尺”、“13尺”。这是用勾股定理算出的结果。

汉代的数学家赵君卿，在注《周髀算经》时，附了一个图来证明“商高定理”。这个证明是400多种“商高定理”的证明中昀简单和昀巧妙的。外国人用同样的方法来证明的，昀早是印度数学家巴斯卡拉·阿查雅，那是1150年的时候，可是比赵君卿还晚了1000年。

东汉初年，根据西汉和西汉时期以前数学知识积累而编纂的一部数学著作《九章算术》里面，有一章就是讲“商高定理”在生产事业上的应用。

直至清代才有华蘅芳、李锐、项名达、梅文鼎等创立了这个定理的几种巧妙的证明。勾股定理是人们认识宇宙中形的规律的起点，在东西方文明起源过程中，有着很多动人的故事。

我国古代数学著作《九章算术》的第九章即为勾股术，并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点，表明已懂得利用一些特殊的直角三角形来切割方形的石块，从事建筑庙宇、城墙等。

这与欧几里得《几何原本》第一章的毕达哥拉斯定理及其显现出来的推理和纯理性特点恰好形成熠熠生辉的对比，令人感慨。

发明使用0和负数

我国是世界上公认的“0”的故乡。在数学史上，“0”的发明和使用是费了一番周折的。我国发明和使用“0”，对世界科学作出了巨大的贡献。

在商业活动和实际的生产生活当中，由于“0”不能正确表示出商人付出的钱数和盈利得来的钱数，因而又出现了负数。从古至今，负数在日常生活中有非常重要的作用。

若干人凑钱合伙买鸡。若每人出9个钱，则盈余11个钱，若每人出6个钱，则缺欠16个钱，

这一盈一亏相差11+16=27个钱，而前后每人出资相差9-6=3个钱，可知有27÷3=9人；

鸡价9×6+16=70个钱。