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初中数学教学典型案例分析
我仅从四个方面,借助教学案例分析的形式,向老师们汇报一下我个人数学教学的体会,这四个方面是:
1在多样化学习活动中实现三维目标的整合;2课堂教学过程中的预设和生成的动态调整;3对数学习题课的思考;4对课堂提问的思考。
首先,结合《勾股定理》一课的教学为例,谈谈如何在多样化学习活动中实现三维目标的整合
案例1:《勾股定理》一课的课堂教学
第一个环节:探索勾股定理的教学
师(出示4幅图形和表格):观察、计算各图中正方形A、B、C的面积,完成表格,你有什么发现?
A的面积
B的面积
C的面积
图1
图2
图3
图4
生:从表中可以看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且,从图中可以看出正方形A、B的边就是直角三角形的两条直角边,正方形C的边就是直角三角形的斜边,根据上面的结果,可以得出结论:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这里,教师设计问题情境,让学生探索发现“数”与“形”的密切关联,形成猜想,主动探索结论,训练了学生的归纳推理的能力,数形结合的思想自然得到运用和渗透,“面积法”也为后面定理的证明做好了铺垫,双基教学寓于学习情境之中。
第二个环节:证明勾股定理的教学
教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片,先分组拼图探究,在交流、展示,让学生在实践探究活动中形成新的能力 (试图发现拼图和证明的规律:同一个图形面积用不同的方法表示)。
学生展示略
通过小组探究、展示证明方法,让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来,并试图通过几何意义的理解构造图形,让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法,提升创新思维能力。
第三个环节:运用勾股定理的教学
师(出示右图):右图是由两个正方形
组成的图形,能否剪拼为一个面积不变的新
的正方形,若能,看谁剪的次数最少。
生(出示右图):可以剪拼成一个面积
不变的新的正方形,设原来的两个正方形的
边长分别是a、b,那么它们的面积和就是
a2+ b2,由于面积不变,所以新正方形的面积
应该是a2+ b2,所以只要是能剪出两个以a、b
为直角边的直角三角形,把它们重新拼成一个
边长为 a2+ b2 的正方形就行了。
问题是数学的心脏,学习数学的核心就在于提高解决问题的能力。教师在此设置问题不仅是检验勾股定理的灵活运用,更是对勾股定理探究方法和证明思想(数形结合思想、面积割补的方法、转化和化归思想)的综合运用,从而让学生在解决问题中发展创新能力。
第四个环节:挖掘勾股定理文化价值
师:勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,见数与形密切联系起来。它在培养学生数学计算、数学猜想、数学推断、数学论证和运用数学思想方法解决实际问题中都具有独特的作用。勾股定理最早记载于公元前十一世纪我国古代的《周髀算经》,在我国古籍《九章算术》中提出“出入相补”原理证明勾股定理。在西方勾股定理又被成为“毕达哥拉斯定理”,是欧式几何的核心定理之一,是平面几何的重要基础,关于勾股定理的证明,吸引了古今中外众多数学家、物理学家、艺术家,甚至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学人文内涵,希望同学们课后查阅相关资料,了解数学发展的历史和数学家的故事,感受数学的价值和数学精神,欣赏数学的美。
新课程三维目标(知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观)从三个维度构建起具有丰富内涵的目标体系,课程运行中的每一个目标都可以与三个维度发生联系,都应该在这三个维度上获得教育价值。
2课堂教学过程中的预设和生成的动态调整
案例2:年前,在鲁教版七年级数学上册《配套练习册》第70页,遇到一道填空题:
例:设a、b、c分别表示三种质量不同的物体,如图所示,图①、图②两架天平处于平衡状态。为了使第三架天平(图③)也处于平衡状态,则“?”处应放 个物体b
a
a
b
c
图① 图②
a
c
图③
通过调查,这个问题只有极少数学生填上了答案,还不知道是不是真的会解,我需要讲解一下。
我讲解的设计思路是这样的:
一引导将图①和图②中的平衡状态,用数学式子(符号语言——数学语言)表示(现实问题数学化——数学建模):
图①:2a=c+b 图②: a+b=c
因此,2a=(a+b)+b
可得:a=2b, c=3b
所以,a+c = 5b
答案应填5
我自以为思维严密,有根有据。然而,在让学生展示自己的想法时,却出乎我的意料。
学生1这样思考的:
假设b=1,a=2,c=3所以,a+c = 5,答案应填5
学生这是用特殊值法解决问题的,虽然特殊值法也是一种数学方法,但是存在很大的不确定性,不能让学生仅停留在这种浅显的思维表层上。面对这个教学推进过程的教学“新起点”,我必须深化学生的思维,但是,还不能打击他的自信心,必须保护好学生的思维成果。因此,我立刻放弃了准备好的讲解方案,以学生思维的结果为起点,进行调整。
我先对学生1的方法进行积极地点评,肯定了这种思维方式在探索问题中的积极作用,当那几个同样做法的学生自信心溢于言表时,我随后提出这样一个问题:
“你怎么想到假设b=1, a=2, c=3?a、b、c是不是可以假设为任意的三个数?”
有的学生不假思索,马上回答:“可以是任意的三个数。”也有的学生持否定意见,大多数将信将疑,全体学生被这个问题吊足了胃口,我趁机点拨:
“验证一下吧。”
全班学生立刻开始思考,验证,大约有3分钟的时间,学生们开始回答这个问题:
“b=2,a=3,c=4时不行,不能满足图①、图②中的数量关系。”
“b=2,a=4,c=6时可以。结果也该填5”
“b=3,a=6,c=9时可以,结果也一样。”
“b=4,a=8,c=12时可以,结果也一样。”
“我发现,只要a是b的2倍,c是b的3倍就能满足图①、图②中的数量关系,结果就一定是5”
这时,学生的思维已经由特殊上升到一般了,也就是说在这个过程中,学生的归纳推理得到了训练,对特殊值法也有了更深的体会,用字母表示发现的规律,进而得到a=2b,c=3b 所以,a+c = 5b 答案应填5
我的目的还没有达到,继续抛出问题:
“我们列举了好多数据,发现了这个结论,你还能从图①、图②中的数量关系本身,寻找更简明的方法吗?”学生又陷入深深地思考中,当我巡视各小组中出现了“图①:2a=c+b 图②: a+b=c”时,我知道,学生的思维快与严密的逻辑推理接轨了。
我们是不是都有这样的感受,课堂教学设计兼具“现实性”与“可能性”的特征,这意味着课堂教学设计方案与教学实施过程的展开之间不是“建筑图纸”和“施工过程”的关系,即课堂教学过程不是简单地执行教学设计方案的过程。
在课堂教学展开之初,我们可能先选取一个起点切入教学过程,但随着教学的展开和师生之间、生生之间的多向互动,就会不断形成多个基于不同学生发展状态和教学推进过程的教学“新起点”。因此课堂教学设计的起点并不是唯一的,而是多元的;不是确定不变的,而是预设中生成的;不是按预设展开僵硬不变的,而是在动态中调整的。
3一节数学习题课的思考
案例3:一位教师的习题课,内容是“特殊四边形”。
该教师设计了如下习题:
A
O
F
E
B
H
G
C
题1 (例题)顺次连接四边形各边的中点,所得的四边形是怎样的四边形?并证明你的结论。
题2 如右图所示,△ABC中,中线BE、CF
交于O, G、H分别是BO、CO的中点。
(1) 求证:FG∥EH;
(2) 求证:OF=CH
O
F
A
E
C
B
D
题3 (拓展练习)当原四边形具有什么条件时,其中点四边形为矩形、菱形、正方形?
题4 (课外作业)如右图所示,
DE是△ABC的中位线,AF是边
BC上的中线,DE、AF相交于点O
(1)求证:AF与DE互相平分;
(2)当△ABC具有什么条件时,AF = DE。
(3)当△ABC具有什么条件时,AF⊥DE。
F
G
E
H
D
C
B
A
教师先让学生思考第一题(例题)。教师引导学生画图、观察后,进入证明教学。
师:如图,由条件E、F、G、H
是各边的中点,可联想到三角形中位
线定理,所以连接BD,可得EH、
FG都平行且等于BD,所以EH平行
且等于FG,所以四边形EFGH是平行四边形,下面,请同学们写出证明过程。
只经过五六分钟,证明过程的教学就“顺利”完成了,学生也觉得不难。但让学生做题2,只有几个学生会做。题3对学生的困难更大,有的模仿例题,画图观察,但却得不到矩形等特殊的四边形;有的先画矩形,但矩形的顶点却不是原四边形各边的中点。
评课:本课习题的选择设计比较好,涵盖了三角形中位线定理及特殊四边形的性质与判定等数学知识。运用的主要方法有:(1)通过画图(实验)、观察、猜想、证明等活动,研究数学;(2)沟通条件与结论的联系,实现转化,添加辅助线;(3)由于习题具备了一定的开放性、解法的多样性,因此思维也要具有一定的深广度。
为什么学生仍然不会解题呢?学生基础较差是一个原因,在教学上有没有原因?我个人感觉,主要存在这样三个问题:
(1)学生思维没有形成。教师只讲怎么做,没有讲为什么这么做。教师把证明思路都说了出来,没有引导学生如何去分析,剥夺了学生思维空间;
(2)缺少数学思想、方法的归纳,没有揭示数学的本质。出现讲了这道题会做,换一道题不会做的状况;
(3)题3是动态的条件开放题,相对于题1是逆向思维,思维要求高,学生难把握,教师缺少必要的指导与点拨。
修正:根据上述分析,题1的教学设计可做如下改进:
首先,对于开始例题证明的教学,提出“序列化”思考题:
(1)平行四边形有哪些判定方法?
(2)本题能否直接证明EF∥FG , EH=FG 在不能直接证明的情况下,通常考虑间接证明,即借助第三条线段分别把EH和FG的位置关系(平行)和数量关系联系起来,分析一下,那条线段具有这样的作用?
(3)由E、F、G、H是各边的中点,你能联想到什么数学知识?
(4)图中有没有现成的三角形及其中位线?如何构造?
设计意图:上述问题(1)激活知识;问题(2)暗示辅助线添加的必要性,渗透间接解决问题的思想方法;问题(3)、(4)引导学生发现辅助线的具体做法。
其次,证明完成后,教师可引导归纳:
我们把四边形ABCD称为原四边形,四边形EFGH称为中点四边形,得到结论:任意四边形的中点四边形是平行四边形;辅助线沟通了条件与结论的联系,实现了转化。原四边形的一条对角线沟通了中点四边形一组对边的位置和数量关系。这种沟通来源于原四边形的对角线同时又是以中点四边形的边为中位线的两个三角形的公共边,由此可感受到,起到这种沟通作用的往往是图形中的公共元素,因此,在证明中一定要关注这种公共元素。
然后,增设“过渡题”:原四边形具备什么条件时,其中点四边形为矩形?教师可点拨思考:
怎样的平行四边形是矩形?结合本题特点,你选择哪种方法?考虑一个直角,即中点四边形一组邻边的位置关系。一组邻边位置和数量关系的变化,原四边形两条对角线的位置和数量关系也随之变化。
根据修正后的教学设计换个班重上这节课,这是效果明显,大部分学生获得了解题的成功,几个题都出现了不同的证法。
启示:习题课教学,例题教学是关键。例题与习题的关系是纲目关系,纲举则目张。在例题教学中,教师要指导学生学会思维,揭示数学思想,归纳解题方法策略。可以尝试以下方法:
(1)激活、检索与题相关的数学知识。知识的激活、检索缘于题目信息,如由条件联想知识,由结论联系知识。知识的激活和检索标志着思维开始运作;
(2)在思维的障碍处启迪思维。思维源于问题,数学思维是隐性的心理活动,教师要设法采取一定的形式,凸显思维过程,如:设计相关的思考问题,分解题设障碍,启迪学生有效思维。
(3)及时归纳思想方法与解题策略。从方法论的角度考虑,数学习题教学,意义不在习题本身,数学思想方法、策略才是数学本质,习题仅是学习方法策略的载体,因此,方法策略的总结是很有必要的。题1的归纳总结使题2迎刃而解,题2是将题1的凸四边形ABCD变为凹四边形ABOC,两题的实质是一样的。学生在解题3时,试图模仿题1,这是解题策略问题。题1条件确定,可以通过画图、观察发现,题3必须通过推理发现后才可画出图形。
4 注意课堂提问的艺术
案例1:一堂公开课——“相似三角形的性质”,为了了解学生对相似三角形判定的掌握情况,提出两个问题:
(1) 什么叫相似三角形?
(2) 相似三角形有哪几种判定方法?
听了学生流利、圆满的回答,教师满意地开始了新课教学。老师们对此有何评价?
C
B
A
事实上学生回答的只是一些浅层次记忆性知识,并没有表明他们是否真正理解。可以将提问这样设计:
如图,在△ABC和△ABC中,
(1)已知∠A=∠A,补充一个合适的
C
A
B
条件 ,使△ABC∽△ABC;
(2)已知AB/AB=BC/BC;补充一个合适的
条件 ,使△ABC∽△ABC
回答这样的问题,仅靠死记硬背是不行的,只有在真正掌握了相似三角形判定的基础上才能正确回答。这样的提问能起到反思的作用,学生的思维被激活,教学的有效性能够提高。
案例2:一堂讲菱形的判定定理(是讲对角线互相垂直平分的四边形是菱形)的课,教师画出图形后,有一段对话:
师:四边形ABCD中,AC与BD互相垂直平分吗?
B
C
A
D
生:是!
师:你怎么知道?
生:这是已知条件!
师:那么四边形ABCD是菱形吗?
生:是的!
师:能通过证三角形全等来证明结论吗?
生:能!
老师们感觉怎样?实际上,老师已经指明用全等三角形证明四边形的边相等,学生几乎不怎么思考就开始证明了,所谓的“导学”实质成了变相的“灌输”。虽从表面上看似热闹活跃,实则流于形式,无益于学生积极思维。可以这样修正一下提问的设计:
(1)菱形的判定已学过哪几种方法?(1一组邻边相等的平行四边形是菱形;2四边相等的四边形是菱形)
(2)两种方法都可以吗?证明边相等有什么方法?(1全等三角形的性质;2线段垂直平分线的性质)
(3)选择哪种方法更简捷?
案例3:“一元一次方程”的教学片段:
师:如何解方程3x-3=-6(x-1)
生1:老师,我还没有开始计算,就看出来了,x =1
师:光看不行,要按要求算出来才算对。
生2:先两边同时除以3,再……(被老师打断了)
师:你的想法是对的,但以后要注意,刚学新知识时,记住一定要按课本的格式和要求来解,这样才能打好基础。
老师们感觉怎样?这位教师提问时,把学生新颖的回答中途打断,只满足单一的标准答案,一味强调机械套用解题的一把步骤和“通法”。殊不知,这两名学生的回答的确富有创造性,可惜,这种偶尔闪现的创造性思维的火花不仅没有被呵护,反而被教师“标准的格式”轻易否定而窒息扼杀了。其实,学生的回答即使是错的,教师也要耐心倾听,并给与激励性评析,这样既可以帮助学生纠正错误认识,又可以激励学生积极思考,激发学生的求异思维,从而培养学生思维能力。
有的老师提问后留给学生思考时间过短,学生没有时间深入思考,结果问而不答或者答非所问;有的老师提问面过窄,多数学生成了陪衬,被冷落一旁,长期下去,被冷落的学生逐渐对提问失去兴趣,上课也不再听老师的,对学习失去动力。
关于课堂提问,我感觉要注意以下问题:
(1)提问要关注全体学生。提问内容设计要由易到难,由浅入深,要富有层次性,不同的问题要提问不同层次的学生;
(2)提问要有思考的价值,课堂提问要选择一个“最佳的智能高度”进行设问,是大多数学生“跳一跳,够得着”;
(3)提问的形式和方法要灵活多样。注意提问的角度转换,引导学生经历尝试、概括的过程,充分披露灵性,展示个性,让学生得到的是自己探究的成果,体验的是成功的快乐,使“冰冷的,无言的”数学知识通过“过程”变成“火热的思考”。
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引例丰富:从大量诗词歌赋中引用的古语原文,不拘历史时代,贴切妥帖。帮助您更好的学习扩展古汉语知识。总结:这部字典可供广大用户在阅读古籍,解释古籍语文问题时使用,也可作为中学生及高等院校师生和文史工作者学习、研究古代汉语的参考工具。现代汉语词典双语版---外语教学与研究出版社授权使用1、高度的权威性:《现汉》是汉语学习权威的工具书,它包括了《新华字典》、《汉语词典》、《成语词典》的所有内容,无论在收词还是释义、例句等方面,都具有举世公认的权威性;2、详尽的词语解释:除了将字面意思解释清楚外,还会对词的用法和出处做进一步的详细说明。如:对成语、典故,不仅有释义,而且还注明其在古典著作中的出处,提供不常见的文言文原文。以及讲明词语间的相互搭配,而这些都是中小学语文教学的重点,对吴、粤、闽等方言地区的人们和学习汉语的外国人来说也十分重要。3、标准的英语翻译:本词典由国内职业翻译家和国外英语专家倾力翻译而成,完整呈现《现代汉语词典》的固有风采。总结:创新而规范的体例,充分体现汉语和英语的社会性和时代性,使汉语和英语的双语功能相得益彰。学汉语(语文)权威的词典,现在的双语版配合标准的英语翻译,适合我国广大学生、英语工作者及国外汉语爱好者学习、参考、研究之用。
4、多国语词典----上海译文出版社授权
为了满足广大用户学习多国语言的需求,本公司特地为用户精心打造了多国语词典系列,包含的语种有:德汉词典、汉德词典、法汉词典、汉法词典、韩汉词典、汉韩词典、日汉词典、汉日词典、俄汉词典、汉俄词典等10本多国语词典。这些词典的特点有:
解释权威:由中国最大的综合性翻译出版社---上海译文出版社出版,经过数十专家几十年的修订精心编制。
收词实用:除日常用词外,以上词典还侧重收录经济、旅游、计算机、汽车用语和外来语,力求实用,以适应当今社会发展的实际需要。其中德语字典还收录了:《德语正字法新规定例释表》、《德语正字法新旧字形对照表》和《动词不规则表》;法语字典还收录了《动词变位表》和《计量单位表》;以及在俄语字典中也收录了《汉俄对照化学元素名称表》和《主要国际组织》等实用附录。
具体每本介绍如下:
俄汉-汉俄袖珍词典——上海译文出版社授权使用《俄汉-汉俄袖珍词典》是一本实用型的袖珍语文工具书,包括俄汉和汉俄词典两大部分,适合于具有初、中级俄语程度的汉语读者学习使用,也可供俄语读者学习汉语时作参考。本词典力求收词精当,编排紧凑,便于携带。
本词典共收俄语和汉语词目各约20000条。除基本词外,还着重选收了当前社会使用广泛的政治、经济、外贸、旅游和科技等方面的新词新义,并且适当选收了一些外来语和口语语词,体现了时代风貌。法汉-汉法袖珍词典——上海译文出版社授权使用《法汉-汉法袖珍词典》包括法汉和汉法两部分,系在参考了国内外多种法语词典和资料的基础上编篡而成。两部分各收词约二万余条,加上短语、复合词、派生词,全书共收有四万余词条。鉴于近年来国际上政冶、经济、文化及科技诸领域发生了巨大的变化,法语中新的词语及语法现象日新月异,本词典在这方面作了补充,收进新词一千余个,其中有属于纯粹新词,有的旧词新义。
本词典每个词条,除提供拼写、发音和基本释义外,在用法、搭配等方面作了若干说明,同时也以醒目的字体列出有关的动词短语、派生词和复合词。日汉-汉日袖珍词典——上海译文出版社授权使用《日汉-汉日袖珍词典》由日汉词典和汉日词典两部分组成。选收日语基本词、常用词及汉语基本词、常用词各25000余条。其中着重选收了当前国内外媒体上经常出现的大量新词,如:笔记本电脑、纳米技术、网络技术、自助银行、冲浪、电脑警察,等等,体现了新世纪的时代风貌。内容力求简明实用,收词精当,编排合理,便于检索和携带。
本词典释义力求精确、详尽。适用于初、中等日语程度的汉语读者学习使用,并兼顾日语读者学习和使用汉语。韩汉-汉韩袖珍词典——上海译文出版社授权使用《韩汉-汉韩袖珍词典》共收词条五万个左右,韩汉、汉韩部分各约25,000条。本词典采用韩国文字拼写法,按韩国习惯编排,有别于以往国内已出的各类朝鲜语词典。
除基本日常用语外,侧重收录经贸、旅游用语和外来语,力求实用和现代化,以适应当今中韩关系日益发展的实际需要。德汉-汉德袖珍词典——上海译文出版社授权使用《德汉-汉德袖珍词典》共收词六万五千条左右,德汉部分收词约三万条,汉德部分收词约三万五千条。本词典德汉部分采用德语文字拼写法,按德语字母顺序排列。汉德部分按汉语拼音字母顺序排列。在编写过程中,参考了国内外出版的德汉或汉德方面的多种词典,学习和吸收了它们的长处。
除基本日常用语外,侧重收录了经济、旅游、计算机、汽车用语和外来语,适用于初、中等德语程度的汉语读者学习使用,并兼顾德语读者学习和使用汉语。
5、其他词典
新科技词典--------诺亚舟独立版权词典1、词汇量超大:一个《新科技词典》包含完整的《计算机词典》、《经贸词典》、《机械词典》、《电子词典》、《医学词典》、《法律词典》,是目前诺亚舟的所有词典中(包含版权词典)词汇量最大的词典,堪称词典“巨无霸”。2、包含专业多,应用范围广:以当前使用最广的几大领域的词汇(计算机、经贸、机械、电子、医学、法律、缩略语)为主体,包含各个科技领域的专业词汇,和《新英汉词典》和《朗文词典》形成完美的弥补关系,查找专业术语不用愁。3、独一无二,诺亚舟专有:本词典是诺亚舟花重金请数十位专家学者针对用户需求精心打造,是业界独一无二、无法复制的,其他各大品牌均无此词典。英汉词典----诺亚舟独立版权词典1、词条丰富:扩充《朗文双解》词典的词汇量,弥补不足,补充生僻词、习语,由诺亚舟英语专业人士精心打造。2、释义精简:汉语解释,查阅一目了然。英汉补词解释也力求精简,让您不必翻看许久才能看到您查找的解释。3、例句丰富:保留《朗文双解》里所有的例句,学习方便。4、属性齐全:充分利用数字化优势,提出八大属性:例证、用法、习语、句型、派生、词根、分类、学习,学习查阅方便,一键解决。汉英词典----诺亚舟独立版权词典1、词汇量大:常用中文词语,应有尽有。2、解释智能:快速反查至英汉词典,不仅可知道本汉语单词对应的英文单词,还能学习该英文单词的其他意思。3、符合中国人习惯:本词典全面使中英文巧妙接轨(比如中国人查形容词一般后面不会加“的”,查“大”就是“大”,不会查“大的”),符合中国人查询习惯。分级词典(新)----诺亚舟独立版权词典本分级词典共分为16个级别:新课标、小学、初中、高中、四级、六级、成人高考词汇、自考本科词汇、自考专科词汇、英语专业四级、英语专业八级、考研词汇、雅思、托福、GRE、GMAT。完全参照国家教育部颁发的最新教学大纲词汇为蓝本,帮助学生快速掌握适合自己年级的核心词汇。紧贴时下最热门的出国留学考试信息,网罗最新词汇,成为您考试的好帮手。所有分级词典都能进行词汇学习、智能背单词,只要设置某一级别,就能让您反复记忆、测试您设定的词汇,轻轻松松背单词!专业词典----诺亚舟独立版权词典诺亚舟的专业词典有以下特点:1、包含专业多:诺亚舟的专业词典包含上百个专业,几乎囊括医学、法律、经济、电子、航海、采矿等各个学科和领域,以及从小学到大学等各个分级的词汇,每本都是精心制作,切实符合用户需要。2、支持汉英专业词典:本功能只有诺亚舟一家独有,其他各公司只能查英汉专业词典不能查汉英,但是汉英也是用户强烈需求的。诺亚舟根据各英汉专业词典制作成上百部汉英专业词典。3、数量不断增多:根据用户的需求和公司的资源,专业词典的数量在不断增加中。
本文2023-08-03 21:37:08发表“古籍资讯”栏目。
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