《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种。《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元1世纪）成书，是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。后世的古代数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的，许多人曾为它作过注释，其中最著名的有刘徽（公元263年）、李淳风（公元656年）等人。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，是世界上最早的印刷本数学书。《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本．现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。

《九章算术》收有246个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是：第一章“方田”，研究田亩面积计算；第二章“粟米”，研究谷物粮食的按比例折换；第三章“衰分”，研究比例分配问题；第四章“少广”，已知面积、体积、求其一边长和径长等；第五章“商功”，研究土石工程、体积计算；第六章“均输”，研究合理摊派赋税；第七章“盈不足”，即双设法问题；第八章“方程”，研究一次方程组问题；第九章“勾股”，利用勾股定理求解。

《九章算术》的数学成就：

（1）提出分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则，比欧洲早1400多年；

（2）提出整套的比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法；

（3）介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础；

（4）采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵。解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才提出完整的线性方程的解法法则；

（5）引进和使用了负数，并提出了正负数，正负数的加减法则，与现今代数法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪才认识负数。

（6）提出了勾股数问题的通解公式。在西方直到3世纪才取得相近的结果，比《九章算术》晚了约3个世纪；

（7）提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式。

（1）：两鼠穿垣

今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问：何日相逢？各穿几何？

题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞。大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半。它们几天可以相遇？相遇时各打进了多少？

此题刊于我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中。《九章算术》成书大约在公元一世纪，由于年代久远，它的作者以及准确的成书年代，至今尚未能考证出来。该书是采用罗列一个个数学问题的形式编排的。全书共收集了246道数学题，分成九大类，即九章，所以称为《九章算术》。

解答本题并不十分繁难，请你试一试。

（2）韩信点兵

传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队（每行三人），再列成五列纵队（每行五人），最后列成七列纵队（每行七人）。他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。如果韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗？

（3）和尚分馒头

我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：

一百馒头一百僧，

大僧三个更无争，

小僧三人分一个，

大小和尚各几丁？"

如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？

方法一，用方程解：

解：设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程：

　　3x+1/3(100－x)=100

　　解方程得：x=25

　　小和尚：100－25＝75人

方法二，鸡兔同笼法：

(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？

　　3×100=300(个)．

(2)这样多吃了几个呢？

　　300－100=200(个)．

(3)为什么多吃了200个呢？这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？

　　3－1/3=8/3

(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：

　　200÷8/3＝75（人）

　　大和尚：100－75＝25（人）

方法三，分组法：

由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法，原话是："置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。"所谓"实"便是"被除数"，"法"便是"除数"。列式就是：

　　100÷（3+1）=25，100-25=75。　我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。

（4） 以碗知僧

有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？

（5） 百钱问题

今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何？

相传在南北朝时期（公元 386 年——公元 589 年），我国北方出了一个“神童”，他反映敏捷，计算能力超群，许多连大人一时也难以解答的问题，他一下子就给算出来了。远远近近的人都喜欢找他计算数学问题。

“神童”的名气越来越大，传到当时宰相的耳中。有一天，宰相为了弄清“神童”是真是假，特地把“神童”的父亲叫了去，给了他 100 文钱，让第二天带 100 只鸡来。并规定 100 只鸡中公鸡、母鸡和小鸡都要有，而且不准多，也不准少，一定要刚好百钱百鸡。

当时，买 1 只公鸡 5 文钱，买 1 只母鸡 3 文钱，买 3 只小鸡才 1 文钱。怎样才能凑成百钱百鸡呢？“神童”想了一会，告诉父亲说，只要送 4 只公鸡、 18 只母鸡和 78 只小鸡就行了。

第二天，宰相见到送来的鸡正好满足百钱百鸡，大为惊奇。他想了一下，又给了 100 文钱，让明天再送 100 只鸡来，还规定不准只有 4 只公鸡。

这个问题也没有难住“神童”。他想了一会，叫父亲送 8 只公鸡、 11 只母鸡和 81 只小鸡去。还告诉父亲说，遇到类似问题，只要怎样怎样就行了。第二天，宰相见到了送来的 100 只鸡，赞叹不已。他又给了 100 文钱，要求下次再送 100 只鸡来。

岂料才一会儿，“神童”的父亲就送来了 100 只鸡。宰相一数：公鸡 12 只、母鸡 4 只、小鸡 84 只，正好又满足百钱百鸡……。

这个“神童”就是张丘建。他继续勤奋学习，终于成为一个著名的数学家。他的名著《张丘建算经》里，最后一个题目就是这个有趣的“百鸡问题”。

“百鸡问题”是一个不定方程问题。 X+y+z=100

设买公鸡、母鸡和小鸡分别为 x 、 y 、 z 只，依题意可得方程组： 5x+3y+ 1/3z=100

另外再设一个整数参数 k ，就有： x=4k , y=25 － 7k , z=75+3k 。

因为鸡数 x 、 y 、 z 都只能是正数，所以满足这组式子的 k 值只能是 1 、 2 、 3 。分别用 1 、 2 、 3 去替代式子中的 k ，算出的答案正好与张丘建的一模一样。

在张丘建生活的那个年代，人们还不会列出方程组，那么，他又是怎样算出题目的几个答案的呢？

原来，张丘建发现了一个秘密： 4 只公鸡值 20 文钱， 3 只小鸡值 1 文钱，合起来鸡数是 7 ，钱数是 21 ；而 7 只母鸡呢，鸡数是 7 ，钱数也是 21 。如果少买 7 只母鸡，就可以用这笔钱多买 4 只公鸡和 3 只小鸡。这样，百鸡仍是百鸡，百钱仍是百钱。所以，只要只有求出一个答案，根据这种法则，马上就可以求出其它的答案来。

这就是驰名中外的“百鸡术”。

（6）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：

九百九十九文钱，及时梨果买一千，

一十一文梨九个，七枚果子四文钱。

问：梨果多少价几何？

答案：梨有657个，共803文钱，果有343个，共196文钱。

（7） 百羊问题

《算法统宗》里的问题《算法统宗》是中国古代数学著作之一。书里有这样一题：

甲牵一只肥羊走过来问牧羊人：“你赶的这群羊大概有100只吧”，牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只。”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？

（8）李白买酒

我国唐代的天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题材编了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具，也可作计量单位）。三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”

解题方法：壶中原有酒量是要求的，并告诉了壶中酒的变化及最后结果--三遍成倍添（乘以2）定量减（减肥斗）而光。求解这个问题，一般以变化后的结果出发，利用乘与除、加与减的互逆关系，逐步逆推还原。"三遇店和花，喝光壶中酒"，可见三遇花时壶中有酒巴斗，则三遇店时有酒巴1÷2斗，那么，二遇花时有酒1÷2+1斗，二遇店有酒（1÷2+1）÷2斗，于是一遇花时有酒（1÷2+1）÷2+1斗，一遇店时有酒，即壶中原有酒的计算式为

[（1÷2+1）÷2+1] ÷2=7/8（斗）

故壶中原有7/8斗酒。

以上解法的要点在于逆推还原，这种思路也可用示意图或线段图表示出来。

当然，若用代数方法来解，这题数量关系更明确。设壶中原有酒x斗，据题意列方程

2[2（2x-1）-1] -1=0

解之，得x=7/8(斗)

（9）浮屠增级

在明朝程大位<<算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌。

远看巍巍塔七层 红光点点倍加倍

共灯三百八十一 请问尖头几盏灯

这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠。本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，问这个塔顶有几盏灯

答曰:顶层三盏浮屠就是佛塔本题是说,远处有一座雄伟的佛塔,塔上挂满了许多红灯,下一层灯数是上一层灯数的2倍,全塔共有381盏,试问顶层有几盏灯

首先列出各层灯数的比是 1:2:4:8:16:32:64 其总和为了+2+4+8+16+31+64=127 即把总灯数分成127份,一份的灯数是 361/127=3,这就是顶层的灯数

解：设一层x

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381

127x=381

x=3

8x=24

答：第四层24红灯

（10）物不知数

我国古代数学名著<孙子算经>中有这样一道有关自然数的题,

今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二问物几何

翻译:一个数被3除于2,被5除3,被7除2求这个数

请你解释一下这个数是几

孙子算经>的解决方法大体是这样的,

先求被3/2,同时能被5,7都整除的数,最小为140

在求被5/3,同时能被3,7都整除的数,最小为63

最后求被7/2,同时能被3,5整除的数,最小为30

于是数140+63+30=233,就是一个所需求的数,

它减去或加上3,5,7的最小公倍数的105倍数,比如233-210=23

233+105=388,也是符合要求的数,所以符合要求的数有无限个最小的是23

《礼记·内则》篇提道，西周贵族子弟从9岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的“数”已经开始成为专门的课程。

春秋时期，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已普遍使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上也有相应的提高。

战国时期，随着铁器的出现，生产力的提高，我国开始了由奴隶制向封建制的过渡。新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。此时私学开始出现。

最晚在春秋末期人们已经掌握了完备的十进位置值制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具。

秦汉时期，社会生产力得到恢复和发展，给数学和科学技术的发展带来新的活力，人们提出了若干算术难题，并创造了解勾股形、重差等新的数学方法。

同时，人们注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。它是西汉丞相张苍、天文学家耿寿昌收集秦火遗残，加以整理删补而成的。

古籍九章算术