证明一

图一

在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（SAS）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

证明二

图二

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅**部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅**正方形的面积之和，所以我们有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2

展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

化简得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：

图三

由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2

展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2

化简得 c2 = a2 + b2（定理得证）

图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。

证明三

图四

图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅**的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2

展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2

化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）

有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！

在 1881 年，加菲（James A Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。

我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！

又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。

证明四

(a) (b) ©

图五

证明四是这样做的：如图五(a)，我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。接著，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等於以斜边画出来的正方形面积。

留意在图五(b)中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。现在我将超出范围的部分分别以**、紫色和绿色表示出来。同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。现在依照图五©的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现，图五(a)中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等於图五©中斜边正方形的面积。由此，我们就证实了勾股定理。

这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

在历史上，以「出入相补」的原理证明勾股定理的，不只刘徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲，都有出现过类似的证明，只不过他们所绘的图，在外表上，或许会和刘徽的图有些少分别。下面的图六，就是将图五(b)和图五©两图结合出来的。留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面。看一看图六，我们曾经见过类似的图形吗？

图六

其实图六不就是图一吗？它只不过是将图一从另一个角度画出罢了。当然，当中分割正方形的方法就有所不同。

顺带一提，证明四比之前的证明有一个很明显的分别，证明四没有计算的部分，整个证明就是单靠移动几块图形而得出。我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」，不过，我自己就非常喜欢这些「无字证明」了。

图七

在多种「无字证明」中，我最喜欢的有两个。图七是其中之一。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。

事实上，以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多，但在这裏就未有打算将它们一一尽录了。

另一个「无字证明」，可以算是最巧妙和最简单的，方法如下：

证明五

(a) (b)

图八

图八(a)和图二一样，都是在一个大正方形中，放置了4个直角三角形。留意图中浅**部分的面积等於 c2。现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位，成为图八(b)。明显，图八(b)中两个浅**正方形的面积之和应该是 a2 + b2。但由於(a)、(b)两图中的大正方形不变，4 个直角三角形亦相等，所以余下两个浅**部的面积亦应该相等，因此我们就得到 a2 + b2 = c2，亦即是证明了勾股定理。

对於这个证明的出处，有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明，因而宰杀了一百头牛来庆祝。总之，我觉得这是众多证明之中，最简单和最快的一个证明了。

不要看轻这个证明，它其实包含著另一个意义，并不是每一个人都容易察觉的。我现在将上面两个图「压扁」，成为图九：

(a) (b)

图九

图九(a)中间的浅**部分是一个平行四边形，它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度。而图九(b)中的浅**部分是两个长方形，其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一样，(a)、(b)两图浅**部分的面积是相等的，所以将两式结合并消去共有的倍数，我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，这就是三角学中最重要的复角公式！原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的！

在证明二中，当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后，我提出了赵爽的「弦图」，这是一个展开 (a - b)2 的方法。而证明五亦有一个相似的情况，在这裏，我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外，我们亦有一个类似 (a - b) 的「无字证明」。这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，见图十。

(a) (b)

图十

证明六

图十一

图十一中， 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分，其中 Ð C 为直角，D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB。设 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意图中的三个三角形都是互相相似的，并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以

= 和 =

由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

将两式结合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得证。

证明六可以说是很特别的，因为它是本文所有证明中，唯一一个证明没有使用到面积的概念。我相信在一些旧版的教科书中，也曾使用过证明六作为勾股定理的证明。不过由於这个证明需要相似三角形的概念，而且又要将两个三角形翻来覆去，相当复杂，到今天已很少教科书采用，似乎已被人们日渐淡忘了！

可是，如果大家细心地想想，又会发现这个证明其实和证明一（即欧几里得的证明）没有分别！虽然这个证明没有提及面积，但 a2 = cx 其实就是表示 BC 上正方形的面积等於由 AB 和 BD 两边所组成的长方形的面积，这亦即是图一中**的部分。类似地，b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分。由此看来，两个证明都是依据相同的原理做出来的！

证明七

(a) (b) ©

图十二

在图十二(a)中，我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚麼直接的关系，但由於两个相似图形面积之比等於它们对应边之比的平方，而任何正方形都相似，所以我们知道面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2。

不过，细心地想想就会发现，上面的推论中，「正方形」的要求是多余的，其实只要是一个相似的图形，例如图十二(b)中的半圆，或者是图十二©中的古怪形状，只要它们互相相似，那麼面积 I : 面积 II : 面积 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！

在芸芸众多的相似图形中，最有用的，莫过於与原本三角形相似的直角三角形了。

(a) (b)

图十三

在图十三(a)中，我在中间的直角三角形三边上分别画上三个和中间三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其实和原本三角形一样大，所以面积亦相等；如果我们从三角形直角的顶点引一条垂直线至斜边，将中间的三角形分成两分，那麼我们会发现图十三(a)的面积 I 刚好等於中间三角形左边的面积，而面积 II 亦刚好等於右边的面积。由图十三(b)可以知道：面积 I + 面积 II = 面积 III。与此同时，由於面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2，所以 a2 + b2 = c2。

七个证明之中，我认为这一个的布局最为巧妙，所用的数学技巧亦精彩。可惜对一个初中学生而言，这个证明就比较难掌握了。

我不太清楚这个证明的出处。我第一次认识这个证明，是在大学时候，一位同学从图书馆看到这个证明后告诉我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然记忆犹新。

欧几里得《几何原本》的第六卷命题 31 是这样写的：「在直角三角形中，对直角的边上所作的图形等於夹直角边上所作与前图相似且有相似位置的二图形之和。」我估计，相信想出证明七的人，应该曾经参考过这一个命题。

图请参考

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从章节看论语 ——读论语之政治思想感 ——读论语之政治思想感《论语》注译：刘胜利,出版社：中华书局，ISBN： 9787101054187 ，出版时间：2006-12-01。 《论语》首创语录之体，主要是记录春秋时期孔子及其弟子言行 的一部书， 语言简洁精炼,含义深刻,其中有许多言论至今仍被世人视 为至理。 《论语》以记言为主,“论”是论纂的意思， “语”是话语。 《论语》成书于众手,记述者有孔子的弟子,有孔子的再传弟子,也有 孔门以外的人,但以孔门弟子为主。作为一部优秀的语录体散文集， 它以言简意赅、含蓄隽永的语言，记述了孔子的言论。 《论语》中所 记孔子循循善诱的教诲之言，或简单应答，点到即止；或启发论辩， 侃侃而谈；富于变化，娓娓动人。 对于政治思想，论语充分体现了孔子仁治周礼的政治思想，在我 的阅读中的感受分篇阐述： 《学而》是《论语》第一篇的篇名。 《论语》中各篇一般都是以 第一章的前二三个字作为该篇的篇名。 《学而》一篇包括 16 章，内容 涉及诸多方面。其中重点是“吾日三省吾身”“节用而爱人，使民以 ； 时”“礼之用，和为贵”以及仁、孝、信等道德范畴。 ； 《为政》篇包括 24 章。本篇主要内容涉及孔子“为政以德”的 思想、如何谋求官职和从政为官的基本原则、学习与思考的关系、孔 子本人学习和修养的过程、温故而知新的学习方法，以及对孝、悌等 道德范畴的进一步阐述。 《为政》篇包括 24 章。本篇主要内容涉及孔子“为政以德”的 思想、如何谋求官职和从政为官的基本原则、学习与思考的关系、孔 子本人学习和修养的过程、温故而知新的学习方法，以及对孝、悌等 道德范畴的进一步阐述。 《八佾》篇包括 26 章。本篇主要内容涉及“礼”的问题，主张 维护礼在制度上、 礼节上的种种规定； 孔子提出 “绘事后素” 的命题， 表达了他的伦理思想以及“君使臣以礼，臣事君以忠”的政治道德主 张。本篇重点讨论如何维护“礼”的问题。 第五篇包括 26 章，主要内容涉及到义与利的关系问题、个人的 道德修养问题、孝敬父母的问题以及君子与小人的区别。这一篇包括 了儒家的若干重要范畴、原则和理论，对后世都产生过较大影响。 《论语·公冶长篇》共计 28 章，内容以谈论仁德为主。在本篇 里，孔子和他的弟子们从各个侧面探讨仁德的特征。此外，本篇著名 的句子有“朽木不可雕也。粪土之墙不可圬 也”“听其言而观其行” ； ； “敏而好学，不耻下问”“三思而后行”等。这些思想对后世产生过 ； 较大影响。 《论语·雍也篇》共包括 30 章。其中著名文句有： “贤哉回也， 一箪食，一瓢饮，在陋巷”“质胜文则野，文胜质则史，文质彬彬， ； 然后君子”“知之者不如好之者，好之者不 vk 乐之者”“敬鬼神而 ； ； 远之”“己欲立而立人，已欲达而达人。 ； ”本篇里有数章谈到颜回， 孔子对他的评价甚高。此外，本篇还涉及到“中庸之道”“恕”的学 、 说、 “文质”思想，同时，还包括如何培养“仁德”的一些主张。 《论语·述而篇》共包括 38 章，也是学者们在研究孔子和儒家 思想时引述较多的篇章之一。它包括以下几个方面的主要内容： “学 而不厌，诲人不倦”“饭疏食饮水，曲肱而枕之，乐在其中”“发愤 ； ； 忘食， 乐以忘忧， 不知老之将至” ； “三人行必有我师” ； “君子坦荡荡， 小人长戚戚”“温而厉，威而不猛，恭而安。 ； ”本章提出了孔子的教 育思想和学习态度，孔子对仁德等重要道德范畴的进一步阐释，以及 孔子的其他思想主张。 不可否认， 《论语》有自己的糟粕或消极之处，但它所反映出来 的两千多年前的社会人生精论，富有哲理的名句箴言，是中华民族文 明程度的历史展示。即使今天处在改革开放、经济腾飞、文化发展的 时代大潮中， 《论语》中的许多思想仍具有一定的借鉴意义和时代价 值。北宋政治家赵普曾有： “半部《论语》治天下”之说。

子是我国教育的"至圣先师"、“万世师表”，孔子的教育思想虽 然经历了无数朝代变迁， 却始终根植于中华民族土壤， 生生不息， 为我们提供了学习、思考和实践的典范。他的教育思想与当前的 素质教育有许多相通之处,很值得我们研究、学习和借鉴。例如， 对于教育对象，孔子倡导“有教无类”,强调的是人人都应有接 受教育的权利；而“因材施教”的理论，则强调发展学生个性， 体现了古代朴素辩证唯物主义的思想。 孔子主张仁、义、礼、 智、信，作为一名教育家，他提出了“好学敏求，不耻下问，学 思结合，启发诱导，举一反三，因材施教”等先进的教学理念。 对于教学内容的实施(即教学过程)孔子明确提出应划分为学、 思、 行等四个阶段, 他的这一思想为儒家后学所继承和发展， 习、 并以孔子名义总结出“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行 之” (《中庸》) 孔子重视启发教学， 发挥学生主体作用： 孔子作出了 “不愤不启， 不悱不发。举一隅，不以三隅反，则不复也”（《述而》）的著 名论断。孔子因材施教，发展学生的个性特长。以“性相近也， 习相远也”作为教育实践的指南， “夫子教人，各因其材”。 孔 子倡导乐学，培养学生的学习兴趣 。还把乐学作为治学的最高 境界。他说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”“学 而时习之， 不亦悦之。 孔子指导学法， ” 培养学生的学习习惯 ： “多闻阙疑， 慎言其余， 则寡尤； 多见阙殆， 慎行其余， 则寡悔” ， “敏而好学，不耻下问”。 在思想教育方面，加强做人道理的教育，孔子“不学礼， 无以立。己欲立而立人，己欲达而达人。。。。。。巧言乱德。” 等等。孔子把教育的作用概括为“格物、致知、诚意、正心、修 身、齐家、治国、平天下”，意思是说，在通过格物、致知做到 诚意、 （即树立正确的伦理道德观念） 正心 从而达到修身的目的， 形成完善的人格。孔子教育思想的精髓凝炼教师人格力量，成才 德为首，树德先树人。孔子提出的完人标准和发展模式，即便对 今天的教育无疑具有重大的积极意义。榜样的力量是无穷的，人 格的力量是无言的召唤。当代教师应该全方位地进行包装自己， 用渊博的学识、谦恭的为人，幽默睿智谈吐，健康稳定的心态， 丰富、深邃、独特的思想见解，善良、真诚、宽容、正直、富有 爱心的人格品质的外在表现，给学生以启迪、教育、影响并形成 积极向上的精神动力。孔子“德侔天地、道冠古今”，他的地位 是永远不能动摇的。现代教育不排挤传统，只要是优秀的，就永 远具有生命力，孔子教育思想就是这样。 作为青年教师， 我们应怎样提高自身素质和业务水平呢？我 认为首先要树立坚定的职业信念， 热爱这份事业是干好这份事业 的前提，我以身立教，树立为教育为学生服务的理念，我觉得这 是做好教育工作的基础。 社会的发展日新月异，知识在不断地更新，我们青年教师不能一 劳永逸，应当始终保持旺盛的求知欲，好学上进，勤于进取，不 断学习专业知识和业务技能， 使自己的一桶水成为常换常新的活 水。不可否认，我们每位教师的生活都是忙碌而充实的，不过我 看来越这样越要时刻提醒自己，不要忘了给自己充电，尤其是我 们青年教师更该利用空闲时间学习专业知识， 教育的理性发展将 使我们面临一场严峻的考验和挑战，不进则退，一时的安逸也许 明天就会使我们被竞争所淘汰。 教育是科学，是一门艺术，需要实践、反思与探索，为使我们的 业务水平不断提高，我觉得总结回顾是一个必不可少的环节。对 自己教学过程中的不足与长处经常进行冷静的回顾、分析，回想 一天工作中的得与失，不足之处，认真反思，加以改进，闪光点 加以放大，在今后的教学中更好的充分运用。记录教学工作中珍 贵的点点滴滴，坚持写反思札记，我以为这能使我们青年教师在 反思与总结中提高自己的业务水平， 让我们的课堂充满生命的活 力。 我们的工作不同于一般，因为我们的劳动对象是有头脑、有思想 的学生，所以我觉得我们应当走到学生中去。一名好老师，首先 应该是学生的知心朋友，是学生所爱戴、尊重的，情感共鸣对教 学效果的影响，我觉得不可疏忽，如果一节课气氛轻松活泼，学 生学习兴趣浓厚，积极参与、配合，效果一定很好，相反，如果 师生之间有反感甚至厌恶情绪， 课堂上经常有师生不调和甚至相 互冲突的情况发生，课堂效益一定不会很理想。所以我觉得我们 青年教师应利用自己的年龄优势，注重培养与学生的感情，恰当 地运用表扬与批评，要认识到学生和我们是平等的，和我们一样 有自尊心、要面子。这一点我深有体会，记得一次我正在很投入 地上课，忽然看见一个男生趴在桌上睡着了，当时我十分恼火， 就劈头盖脸地训了他一顿，后来我发现他对我似乎有抵触情绪， 作业经常不完成，成绩急流下降，我意识到了问题的严重，找他 谈话，才知道，那天他上课睡觉是因为前一天夜里宿舍里太吵， 他没睡好，而我不分青红皂白的批评深深地伤了他的自尊心，他 产生了一种破罐了破摔的想法。我非常后悔，如果当时我对学生 多了解一些，换一种方法处理这件事，就不会导致他的退步。因 此我认为教师应该是有人性味的，只有热爱学生、尊重学生、理 解学生才能使师生心灵相通，使学生“亲其师，而信其道”。 我认为教师之间的相互扶持、团结协作，对我们每一位青年教师 的成长都有很大的影响，任何人都离不开集体，一个好的集体可 以带动所有成员的发展，闭门造车已不符合时代的要求，我们应 当学会取长补短，形成相携互助的合作氛围，所以说，我觉得每 一次集体备课都是我们青年教师虚心学习的宝贵机会， 是能使我 们业务素质得到提高的一个平台。 我认为我们青年教师应认真对 待每一次集体备课和教研活动，珍惜每一次取经，充实自己的机 会，从而不断提高自身素质和业务水平。 着于丹在《百家讲坛》开讲《论语》，这个两千多年前的儒家思想又成为社会的热 门话题。《论语》是记录孔子及其弟子言行的著作，涉及了处世、道德、从政、教学， 哲学等多个方面的内容。孔子是个伟大的思想家，更是一个教育家，孔子的教育思想， 绝大部分对我们今天仍有指导意义，本人作为一名教育工作者，从《论语》中学到了很 多教学心得， 将其与实际工作结合起来， 可以帮助自己业务水平的提高， 简单介绍如下： 一、有教无类——平等对待每一个学生 有教无类——平等对待每一个学生 —— 孔子收学生，不拘类别，贫富贵贱贤愚都收。对行了入门之礼，交了束滫，列为弟 子的，孔子是“未尝无悔焉”（《述而》），对那些没有列为弟子的，上至国君，下至 “仪封人”那样的小官吏，甚至是“鄙夫”，孔子都尽力解答他们的问题。我们的实际 工作中，也是这样的情况，每年的新生入学，生源参差不齐，有好有坏。不管是差生还 是好生，既然进了自己的课堂，都要尽心尽力去教导他们，不能存在一个先入为主的学 生分类思想，对差生疏于教导，听之任之。对待优秀学生，要发扬他的长处，使之取得 更大的进步，对待所谓的差生，也要认真分析总结，归纳出学生基础薄弱之处，进行针 对性的巩固和提高，帮助他取得学习的进步。中等学生占大多数，通常会成为被忽略人 群，我们用应该给予及时的心理疏导，同样的关怀。 刚教书的时候，每次都会用很严厉的目光扫视一下教室，常常会发现有几个学生坐 在那里想动，想说，还有几个学生会坐得很好，但是什么都不会，什么也没听进去，看 到那样的情形时，会非常生气，恨不得立刻把那部分孩子赶出课堂。多年教育小孩下来 才知道，赶出课堂小孩会什么也学不到，《论语》里有“有教无类”，其实就是说教育 机会的平等，每个人都有薄弱的地方，我们在课堂上应该尊重差异，很多学生在学数学 的时候由于基础比较薄弱，也可能会在进入中学之后比较吃力，无论如何，我们应该公 正的对待每一个学生， 成功特级教师李镇西老师在自己的书中提及自己的读博士的那一 段经历，每次英语课，他都会做在教室的最前面，但是他什么都听不懂。想想我们的学 生，每次都是端正的坐满 45 分钟，有些同学什么都不懂，但是他们仍然坚持坐了 45 分 钟，很不容易的，在同一个花园里，不是牡丹花才开花，我们应该平等对待每一个学生， 做到“有教无类”。 二、诲人不倦——耐心回答每一个问题 诲人不倦——耐心回答每一个问题 —— 这与“学而不厌”一样，是孔子的谦虚之处。纵观《论语》，两万余字，孔子讲述 了自己对为人处世，道德礼仪，为官从政，教学相长等多方面的看法，对于别人提出的 问题，都做了耐心的解答，真正体现了一个教育者在传播文明方面的献身精神，是教师 的典范。 数学教师特别需要具有孔子所说的"诲人不倦"的精神,在数学教学中尽到"诲人 不倦"的责任。 由于数学内容的抽象和知识间的逻辑联系,要提高基础差的学生的数学成 绩成为十分困难的事。 当多次讲解学生依然不懂,或教过不久就全然忘记,甚至学生不愿 意学习数学时,教师很容易产生急躁情绪,而教师一次不耐烦的表现就可能使学生丧失 学习数学的信心,而致前功尽弃。孔子承认人与人之间的先天会有差别,但不是不可逾 越；而认为后天的教育,环境的影响和个人的自我努力却造成了人们的千差万别,所谓" 性相近也,习相远也。"（《阳货》）。数学教师需要想方设法激发学生学习数学的兴趣, 时刻关注他们思维的过程,努力提供机会让学生在他们自己的水平上感悟数学思想,领 略数学的美,体验成功的快乐,建立起学习数学的自信。 三、因材施教——尊重每一个学生 因材施教——尊重每一个学生 —— 《先进》中子路和冉有问了孔子对于同一个问题，因为提问者不同，孔子的回答也 是不同的。这是因为孔子根据每个学生的具体情况，作出有针对性的回答。数学教学也 是一样，不同的学生会有不同的吸收消化程度，在数学教学中不能忘记和丢掉因材施教 的好传统，教学方式或解答学生问题的方式应根据学生水平与具体情况的不同而不同: 对学习很好的,或点到为止,主要留给其自己思考,或旁敲侧击,让其触类旁通， 在课堂上 也可以给这些优秀的学生大一点空间， 尝试让他们做一些竞赛型题目， 思考一些范围广， 难度深的题目，既可以提高这些优等生的成绩，又可以进一步开发他们的思维能力；对 学习较好的学生,可给以适度帮助,促使他弄清问题,逐步分析探究,不仅解出题目,还要 理清思路,掌握方法，逐渐培养条理性，逐渐能够自己解决难题；对于学习一般的学生, 则要耐心地教给解决问题的每个步骤,以及每一步的理由,让其弄懂并会做； 对于基础差 的学生,只能让其大体明白,先模仿去做,然后再图进一步理解与提高。数学课堂本身就 比较注重精讲多练， 认真讲透彻每一个例题， 让不同的学生能够吸收到不同程度的知识， 因材施教，真正做到尊重学生之间的差异。 四、启发教学——培养学生独立思考问题的能力 启发教学——培养学生独立思考问题的能力 —— 《述而》中孔子说“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。”这一 章就明确表现了启发教学的思想。数学内容抽象，只有进行正确的启发引导，才能使学 生在数学活动中深刻理解掌握数学知识,领悟数学思想和发展数学能力, 使数学教学充 满活力。一个好的教师，应该把所教的内容在学生思考后进行教导，让其领悟到。学生 思考后不明白，不得解，教师这个时候要进行启示，学生有了想法，不知道确切表达， 教师引导其确切流畅地表达。学生处于如此状态的时候，教师进行启发引导，教学效果 最佳。教学时，教师举一，学生应以三回证，才能达到推广并融会贯通，真正领悟所学 知识。学生不能举一反三，教师不能直接讲解，应该鼓励学生发思考，让学生“愤”” 悱”，然后再进行启发讲解。 我一直从事的是初中数学教学，每一次在讲到几何教学的时候，学生的思路就会很 混乱，可能依葫芦画瓢会知道一些，但是不知所以然，在学生一开始接触几何证明题目 的时候， 我们就应该引导学生慢慢地导出， 因果关系要做到紧凑， 做不把条件全部用上， 不多也不少。就象父母教育自己的孩子整理书包一样的，同一门功课放在一起，让孩子 自己动手，家长在边上指导，有些家长，每次都是亲自帮孩子整理书包，孩子也许长期 不知道怎么自己去整理。同样的我们要教会学生自己去尝试整理条件，利用条件，老师 只是给出适当启发，不可包办代替，这样才能养成学生独立思考的能力。 五、教学相长——培养学生的创新思维 教学相长——培养学生的创新思维 —— 教师和学生相互切磋，共同进步。在与学生的讨论中，孔子的认识也往往随之更上 一层楼。他对那些善于思考，好跟他切磋的学生，常常鼓励有加，毫不掩饰自己受到他 们的启发。《八佾》子夏将学《诗》心得告诉孔子，孔子高兴地说：“起予者商也！”。 数学思维中的求变,求异,求新,与青年人头脑中框框少,敢想,敢于突破的特点相一致。 学生的见解给教师以启发,乃至学生数学解题能力超过教师,是很正常的事。 教学相长在 数学教学中表现得特别明显,可谓数学教学的真谛。 数学相长的思想也源于孔子,韩愈:" 孔子曰:'三人行必有我师。'是故弟子不必不如师,师不必贤于弟子。"(《师说》)为人 师者，也应该有这样的度量，当学生有了自己的见解，指出了教学中的错误或者找到了 更为便利简单的解题方法，教师应该鼓励赞赏，而不要觉得面子挂不住，知错不改，打 消学生的积极性，这样对学生和教师都没有帮助。 孔子的儒家思想博大精深，颜渊就曾经感慨孔子之道“仰之弥高，钻之弥坚；瞻之 在前，忽焉在后”，其实只要结合自己的工作实际，在数学教学中适当运用儒家教学观， 就可以把中国传统教学理念和现代教学观结合起来，激发学生的学习兴趣，为教学找到 一把短时高效的钥匙，起到事半功倍的效果。 《论语》读后感 论语》《论语》是一部语录体散文，全书总共 20 篇，计有《学而》、《为政》、《八佾》、 《里仁》、《公冶长》、《雍也》、《述而》、《泰伯》、《子罕》、《乡党》、《先进》、 《颜渊》、《子路》、《宪问》、《卫灵公》、《季氏》、《阳货》、《微子》、《子张》、 《尧曰》。 《论语》是孔子死后，弟子们把他平日的言行记录收集起来，整理编成的。其中有孔子 的言论，也有弟子们的自相问答，它是儒家思想所依据的经典。 孔子(公元前 551—前 479 年)， 名丘， 字仲尼。 他父亲孔纥， 又名叔梁纥， 曾做过陬邑(今 山东曲阜东南)宰，本身属于贵族阶级下层的“士”。他的母亲姓颜，名叫征在。孔子 3 岁时， 父亲就死了，17 岁时母亲也死了。孔子青年时，曾做过管理仓库(委吏)和管理牛羊(乘田)的 小吏。后来孔子精通“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)。 孔子的政治主张是“礼”和“仁”的学说。他生活于春秋大变革时代，他反对以政、刑来强 迫人民服从。他所说的“礼”，是一种政治秩序，他所说的“仁”，是最高的道德规范，当然， 这种仁和礼是有上下、尊卑、贵贱、等级之分的。动荡不安的春秋时代，诸侯为了争霸，是 讲究实力，着眼于利的，所以未能采纳孔子“仁”的政治主张，孔子也没有被重用。孔子师徒 颠沛流离 14 年周游列国，于公元前 484 年(鲁哀公十一年)返回鲁国，这时孔子已是白发苍 苍的 68 岁的老人了。但孔子用他晚年的精力，集中整理古籍——“六经”。 公元前 479 年，孔子去世，享年 72 岁。他的弟子和再传弟子辑录其言论，编成《论语》 一书，共 20 篇，计 492 节，合计 12700 字。《论语》记到孔子晚年的学生曾参的死为止， 其中保留着孔子生平、思想学说的重要材料，尤其是教育思想和教学活动的重要材料。它是 我国一份十分重要的文化遗产，也可以说，它可作为中国历史上最早的一部教育书。 孔子从他的政治、哲学和心理学观点出发，认为德育的主要内容是仁和礼。所以他主张 “为政以德”，这反映了当时人的价值的提高和奴隶要求解放的时代特征。因此，孔子的道德 观是适应时代潮流的，具有进步意义的。 孔子所谓“礼”，其核心是“正名”。在孔子看来， 周礼最重要的原则是尊尊与亲亲。为了贯彻亲亲和尊尊的原则，孔子提出“正名”的主张，他 说:“名不正，则言不顺;言不顺，则事不成;事不成，则礼乐不兴;礼乐不兴，则刑罚不中;刑罚 不中，则民无所措手足。”(《论语·子路》)所以，孔子提出“君君，臣臣，父父，子子” (《论 语·颜渊》)作为“正名”的具体内容。就是说，为君者要使自己符合于君道，为臣者要符合于 臣道，为父者要符合于父道，为子者要符合于子道。在等级森严的奴隶制社会里，上下尊卑 的关系是靠“礼”来维持的。因此，孔子对于不按自己名分行事的人和事进行批评。如他批评 鲁国大夫季氏“八佾舞于庭，是可忍也，熟不可忍也”(《论语·八佾》)鲁国的三桓在祭祖时， 唱起天子祭祀“相维辟公，天子穆穆”的《雍》诗，也受到孔子的指责。 孔子道德思想的范畴，主要是“仁”。孔子主张“仁”，在《论语》中有多重涵义。一是“仁 者爱人”;二是“克己复礼为仁”;三是“仁者人也”。郭沫若在《十批判书》中说过:孔子“这种所 谓仁道，很显然的是顺应着奴隶解放的潮流的。这也就是人的发现。”孔子主张“仁”，孟子 重视“义”，所以，孔子的“杀身成仁”(《论语·卫灵公》)与他的继承人孟子的“舍生取义”(《孟 子·告子上》)，对后世志士仁人的影响极为深远。 孔子是我国第一个主张“因材施教”的教育家。他对子路、冉有的不同教育就可以说明: 子路问:“闻斯行诸”子曰:“有父兄在， 如之何其闻斯行之” 冉有问:“闻斯行诸”子曰:“闻斯行 之。” 公西华曰:“由也问闻斯行诸，子曰，有‘父兄在’; 求也问闻斯行诸，子曰，‘闻斯行之’。 赤也惑，敢问。” 子曰:“求也退，故进之;由也兼人，故退之。” 子路和冉有向孔子请教的是 同一个问题:听到一个很好的主张，是不是应该马上去先向他们请教再说，哪能马上去做呢 而对冉有却是加以肯定:应当马上就去做。站在一做呢孔子却对不同的人作出不同的回答。 他对子路说:家里父兄在，你应该旁的公西华想不通，便问孔子这是为什么呢 孔子开导说: 冉有遇事畏缩，所以要鼓励他;子路遇事轻率，所以加以抑制。 孔子因材施教的教学思想，在中国教育史上有较大的影响。他认为一个教师，必须掌握 学生在学习上常犯的四种心理表现，即广泛而不精、知识面过窄、把学习看得太容易和有畏 难情绪。只有了解学生的心理特点，才能给予帮助、补救。就是说，学生心理的差异性，决 定了因材施教的必然性。 在教学上，孔子还提倡师生之间相互切磋，共同讨论，互相启发，以收到教学相长的良 好效果。一部《论语》，实际上就是记载他们师生间互相问对、讨论的情况。如子路、颜回， 子贡和子夏就是这样做的。 性率直而鲁莽

众所周知，数学教科书作为数学课程的主要载体，是数学教育得以落实的主要渠道，不同时期的数学教科书往往在很大程度上真实地反映了当时数学教育的理论水平和实践状况：数学教科书不仅是数学教育思想观念的真实写照，而且数学教科书的质量和水平真实地反映了社会的发展状况和人的精神面貌；数学教科书的质量和水平不仅能够真实地反映出数学教育研究的实际水平，而且能够较为全面地折射出数学课堂教学的实际。特别地，数学教科书改革是数学课程改革的核心工作，也是数学教育历次改革发展的焦点之一。

本文试图从中国中小学数学教科书发展的基本脉略，洞察中国中小学数学教育发展的基本脉络和轨迹。

一、 中国古代数学教科书的突出特征

（一）中国古代数学教育发展的基本脉络

古代中国是世界上进行数学教育最早的国家之一：我国从原始公社制末期到奴隶制社会初期，已经逐岁建立起专门的教育机构——学校。据古籍记载和殷墟甲骨文考证，商朝已有较完备的学校教育。而西周已注重数学教育，数学已成为“国子”的必修课程之一。相传周公制礼(相当于现在的宪法)《周官、保氏(负责教育的官员)》上说：“救国子以六艺，一曰礼，二曰乐，三曰射，四曰御，五曰书，六曰数”。到了隋唐王朝，数学教育又有了新的进步。 唐初国子监内没有设立“算学”，656年(显庆元年)始添设算学馆， 李淳风作为唐高宗朝官太史令，受诏与国子监算学博士粱述、太学助教王真儒等校注和编定《周髀》、《九章》等十部算经，作为全国通用的数学教科书。当然，算学博士的官阶是从九品下(官阶中最低的一级)。算学学生学习“十部算经”年数过多，教学效率不高。

宋元时代的朱世杰堪称中世纪世界最伟大的数学家。他曾周游五湖四海20多年，长期靠教授数学为业。他的《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)是我国古代数学发展史的重要里程碑。1487年开始，明清推行八股文科举考试制度，这对数学教育起了很坏的作用，也是使中国本土数学高呼向低潮的重要原因之一。

（二）中国古代数学教科书的突出特征

古代中国在数学教育方面开始很早，而且独具特色：第一个特色是数学教育始终置于政府的控制之下，远在周代，数学就作为“六艺”之一，列入贵族子弟教育的内容。唐代中期以后，“十部算经”由国家颁布用于国子监，并作为科举考试所依据的经典。数学典籍的编纂、增修和注释一般是在政府官员的主持下进行的。这种实施数学教育的做法，在世界史上是少见的，这无疑对社会进步和科学技术发展都产生了积极的影响。第二个特色是带有技术教育的性质，官办数学教育的目的是为政府培养专业计算人员。

基于以上分析，我们认为， 在中国古代的数学教育中，作为数学教科书出现的材料具体体现出如下特点：

1．实用——经世致用：中国古代的数学著作大多数是为了指导实践，必然考虑到如何便于教给人们掌握，较为注重由浅入深，举一反三，都可以作为数学教材。尽管中国古代数学著作很多，如明代的商业数学，吴敬《九章算法比类大全》（1450）等等。但是，古代中国数学教科书总体上具有《九章算术》的特征。从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，几乎包括了当时社会生产和生活的各个领域。其目的是解决当时社会生产和生活所提出的各种计算问题，为当时社会各个领域中的应用服务。

2．应用问题集：强调相对系统的实用数学问题的解决。以《九章算术》为例。《九章算术》的全部理论是以寻求各种应用问题的普遍解法为中心的，一个具有浓厚的“应用数学”色彩的开放性的归纳体系，这种表述体系是按照由个别到一般的推导方式建立起来的：通常是先举出某一社会生活领域中的一个或几个个别问题，从中归纳出某一类问题的一般解法，即算法（术）；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法，从而构成一章；最后，把解决社会生产生活各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。这种归纳的特点还有另一层含意，即按照解决问题的不同数学方法进行归纳。许多不同领域的实际问题可能需用相同的计算方法，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》，盈不足、方程、勾股三章[①]就是如此（[①]刘徽著，李淳风注释九章算术[M]，上海：上海古籍出版社，1990年）。这与《几何原本》追求逻辑的完美形成了鲜明的对照。

3．开放的归纳体系——缺乏系统的逻辑体系和符号体系。

《九章算术》以归纳为主的叙述方式，与古希腊数学代表著作欧几里得的《几何原本》以演绎为主的叙述方式有明显不同。以后的中国古代数学著作，大都采用这种以归纳为主的叙述方式。这也是中国古代数学的一大特色，并反映出古代中国人的思维方式。

正如吴文俊先生指出的：“《九章算术》和《几何原本》东西辉映，是现代数学思想的两大源泉（吴文俊《九章算术注释》序，载：白尚恕著九章算术注释[M],北京：科学出版社，1988年：第1页）。吴先生在几何定理的机器证明领域所取得的成就，正是以《九章算术》为代表的中国传统数学特色在现代条件下的发扬光大。

值得一提的是，值得提出的，中国古代也强调逻辑。但是，这里的“逻辑”与古希腊以“三段论”为代表的演绎逻辑有所不同，而是一种自然的逻辑，其体系并不是相对完整的。

总之，中国传统数学最本质的方法是归纳，认识过程是由特殊到一般，在数学教育的方法上强调启发式，强调对一些典型问题反复思考，举一反三，从中体会一般法则。中国传统数学的特点和数学教育的目的，决定了数学教育的内容是为传授应用技能而设计的，在思想和方法上采取了注重应用、以问题为中心、以算法为基础、主要依靠归纳思建立数学模型、强调基本法则及其推广的一整套模式。

二、 “西学东渐”对中国数学教科书的影响

“西学东渐”是指近代西方学术思想向中国传播的历史过程，其虽然亦可以泛指自上古以来一直到当代的各种西方事物传入中国，但通常而言是指在明末清初以及晚清民初两个时期之中，欧洲及美国等地学术思想的传入。

明朝万历年间，随着耶稣会传教士的到来，对中国的学术思想有所触动。1605年利玛窦辑著《乾坤体义》，被《四库全书》编纂者称为“西学传入中国之始”。清朝政府在1860年代开始，推行了洋务运动，当时的洋务人士，主要采取“中学为体，西学为用”的态度来面对西学。甲午战争以后，大量的西方知识传入中国，影响非常广泛。许多人以转译日本人所著的西学书籍来接受西学。进入民国时期，由于对政治的不满又进一步导致知识分子们提出全盘西化的主张，在五四时期这种思想造成了很大的影响。1850年以后，西洋资本主义国家的近代数学教科书被介绍进来了，中国的数学教育逐渐走上了世界化的道路。

西学东渐对中国中小学数学教育影响过最大的莫过于《几何原本》。利玛窦和徐光启合译的欧几里得的《几何原本》，第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国，同时确定了许多我们现在耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外似等。他们只翻译了前6卷，后9卷由数学家李善兰与英国人伟烈亚力（Alexander Wylie）等人在1857年译出，同时，翻译了《代数术》《代微积拾级》等著作，为符号代数及微积分首次传入中国。此外，数学家华衡芳在19世纪60年代以后与傅兰雅合作译了不少著作，介绍了对数表、概率等新的数学概念。清末新式学堂中的数学教材多采取于两人的著作。到20世纪初，随着留外学生的增加，西方数学大量传入中国，至1913年北京大学成立数学门，为第一个专门的数学的学术教育单位。

三、 20世纪初期中国中小学数学教科书的基本特征

我国近代学校教育，始于1862年(同治元年)设同文馆于北京。清末兴办学堂时期，没有系统的学制，数学教科书多用外国传教士编译的教本，如《代数备旨》、《形学备旨》、《八线备旨》、《代形合参》等。1902至1910年这一时期，中学数学教科书以翻译本居多，亦出现我国自编的一些教本，但质量较差。1911年中华民国成立，不久便颁布新学制，中学为四年制，配有统一的课程标准。我国自编的数学教科书开始有计划有系统地出版。主要有《共和国教科书》、《民国新教科书》等。主要编纂人有秦沅、秦汾、寿孝天、骆师曾、黄元、吴在渊等人。1922年11月我国进行学制改革，实行六三三学制。新学制课程标准起草委员会拟定了初中算学，高中代数、几何、三角及解析几何大意课程纲要。其中，初中数学课程采用混合法讲授。以代数几何为主，算术、三角为辅，合一炉而冶。为此出版了《新学制混合算学教科书》(段育华编，六册，1926)，以及傅种孙先生编写的《初级混合数学》。但不少学校对混合讲授持有异议，坚持分科讲授。为此，商务印书馆又出版一套现代初中教科书，包括算术、代数学、几何和三角术。其中代数学(两册)是由吴在渊（1884～1935）编写的。

1928年我国开始制订中学课程标准。先公布了暂行标准，经征求意见修订后，1933年前后公布中小学正式课程标准，使我国中学教育逐步走上较正规的发展道路。根据课程标准，吴在渊编写了《高级中学几何学教科书》(上、下册)。随着课程标准的修正，这部教材在吴在渊去世后经人修改，继续出版。如署名吴在渊、张鹏飞的《修正课程标准适用 ·高中平面几何学》（上、下），署名吴在渊、陶鸿翔的《修正课程标准适用·高中立体几何学》，在40年代末尚在流行。值得注意的是，1932年起吴在渊根据新课程标准还编写了一套“中国初中教科书”，包括《初中算术》（一册）、《初中代数》（上、下）、《初中几休学》（上、中、下）、《初中三角》（一册），由上海中国科学图书仪器公司出版。这套教材一直出版到40年代末，1947年12月出11版。其中，《初中几何学》一改过去模式，全书分为实验几何学和理论几何学两大部分。先讲实验几何之目的在于“为理论作前驱，尤在使学生自动觉察，若有种种图形性质，隐跃于心目间，呼之欲出”。这是我国20世纪三四十年代中学几何教材改革的一个突出特点。

值得一提的是，民国初年我国的数学教学大多采用注入式，“教员讲，学生听；教员写，学生抄；教员做，学生看”。教学方法上的注入式之弊端尚不为广大教育工作者所重视。而其原因是多个方面的。

四、 20世纪50、60年代的中国中小学数学教科书的发展

众所周知，1949年，以中国***为核心的中国新政府开始运行。至今已经开展了八次大规模的中小学数学教育改革。

20世纪五、六十年代，是中国自20世纪50年以来数学教科书发展的第一阶段，其突出特征是：关注双基，突出“教”材特征。

其间，先后进行过三个大的改革发展：

（一）1949-1952年的第一次课程教材改革

新中国成立后，1949年12月教育部召开第一次全国教育工作会议，从此开始了我国第一次课程改革。这次改革是教育部门自上而下进行的，实行对旧课程的改造，初步确立了我国中小学新课程体系，形成了全国统一教学计划、统一教学大纲与统一教科书的“大一统”课程模式。1950年8月教育部颁发《中学暂行教学计划（草案）》，这是新中国成立后的第一个教学计划；同年9月，在全国出版会议上提出中小学教材必须全国统一供应的方针，并成立人民教育出版社，承担编写国家统一教材的任务，于1951年出版了第一套中小学全国通用教材。 1951年10月，政务院颁发了《关于改革学制的决定》，重新规定了中小学的学制， 规定小学实行五年一贯制，取消初高两级分段制，中学修业年限为六年，分初高两级，各三年。根据学制的要求，1952年3月教育部颁发了小学和中学暂行规程，这是新中国成立后颁发的第一个全面规范中小学课程的政府文件。这一时期的中小学课程教材的突出特点是：强调中央集权，全国统一，只设必修课，不设选修课；课程内容方面，注意科学性和思想性的有机结合；模仿前苏联的痕迹明显，某些课程在一定程度上脱离了中国实际。

（二）1953～1957年的第二次课程教材改革

1953年1月召开的大区文教委员会主任会议和6月召开的第二次全国教育工作会议吹响了新一轮改革的号角。两次会议确立了今后教育工作的重点是整顿、巩固和发展中小学。1954年4月，政务院颁布了《关于改进和发展中学教育的指示》， 1956年教育部颁发了建国以来全国第一套比较齐全的教学大纲：中小学各科教学大纲（修订草案）。这一轮改革随着“一五”计划提前完成，于1957年初结束。这一时期的改革发展存在的问题集中表现为：初步形成了比较全面的中小学课程体系，但模仿前苏联的痕迹仍很深；课程变动过于频繁，教材跟不上需要，致使教学工作不能完全按照教学计划执行。

（三）1957～1965年的第三次、第四次课程教材改革

社会主义制度的基本确立，国民经济的健康发展，国泰民安。1957年2月，毛泽东作了“关于正确处理人民内部矛盾的问题”的报告， 提出：“我们的教育方针， 应该使受教育者在德育、智育、体育几方面都得到发展，成为有社会主义觉悟的有文化的劳动者。“为了更好地贯彻这一教育方针，在教育部的周密部署下，又掀起了课程改革的新浪潮，历经三个阶段：第一阶段是1957～1958年的调整，加强知识教学与劳动教学相结合及完成中学肩负的“双基”任务。第二阶段是课程改革大跃进，其中，课程改革的主题是：缩短学制、精简课程。具体表现在1960年，人教社按照中小学适当缩短学制年限的要求，赶编了第三套全国用教材，把原来12年学完的内容压缩到10年完成，供试验10年制的学校选用。第三阶段是1961～1963年的调整和反思，以“调整、巩固、充实、提高”方针为指导对中小学课程进行改革，制定了新的教学计划和教学大纲，对中小学课程做了必要的调整；编写了第四套全国通用教材，供12年制学校选用，但因种种原因，修改后的教材没有在学校正式使用过。这次改革，虽然基本扭转了课程编写和实施中的混乱局面，但仍存在一些问题，如某些地区反映教材内容深、分量重、教材难等。

20世纪六十年代左右，中国中小学数学教科书关注基础知识、基本技能的获得，其标志是1963年的大纲和教材（1965年出齐），它表明中国的数学教育逐步走向成熟。其突出特点在于：强调知识的巩固、技能的熟练掌握，虽然1963年《全日制中学数学教学大纲(草案)》中明确提出计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，但是，具体体现在数学教材上还是不太注重数学能力，对数学过程是忽略的。归根结底，这一时期教科书的突出特征仍是“教”材，但是，强调如何更好地有利于学生接受。

五、 20世纪70、80年代的中国中小学数学教科书的发展

这是新中国成立以来的第五次课程教材改革。其突出特征是：在关注双基的同时关注能力培养，“教”材特征明显。

1978年1月，教育部颁发《全日制十年制中小学教学计划试行（草案）》，颁布了全国统一的教学大纲，集中编写第五套全国通用的十年制中小学教材，于1978年秋开始在全国使用。这套教材注意到基础知识的选择，智力的启迪和能力的培养，其主要缺点是“深、难、重”。

20世纪八十年代，在关注双基获得的同时，关注能力的培养。其标志是九年义务数学教学大纲的颁布和相应的“八套半”九年义务教育教材（八套九年义务教育教材，一套小学复式教学教材）的逐步实验。这一时期的数学教科书提出打破所谓“一纲一本”的旧模式，实行“编审分开”，成立全国(以及各省、自治区、直辖市)中小学教材审查机构，分别负责对通用教材和地方教材进行审查，通过后方可在相应范围内试(使)用。正如蔡上鹤先生所分析的，它的主要特色是（蔡上鹤新中国中学数学教材建设51年[J],数学通报，2002（10）：12-15）：突出基本数学思想和数学方法，在重视双基的同时，注意培养能力，使数学学科特点与学生认知特点相结合，以统一性为主，兼具灵活性，结合内容加强思想品德教育，重视实习作业，按教学内容介绍科学计算器的使用方法。

20世纪七、八十年代中小学数学教科书的突出特征在于：突出三大能力（正确迅速的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力），重视分析问题和解决问题的能力培养（虽然实际做的不太理想），提出辩证唯物主义观点培养的问题。这一时期教科书的特征仍是“教”材，但是，更强调激发学生的兴趣和学习的外在动力。

六、 20世纪90年代的中国中小学数学教科书的发展

20世纪90年代以来，我国提出并开始实施素质教育。为了全面实施素质教育，为了更好地解决前七次课程改革遗留的课程问题，为了顺应世界课改的潮流，中国政府又开始了一场广泛、全面、深入持久的课程系统改革。

1993年，中共中央、国务院印发《中国教育改革和发展纲要》。中小学教材编写和使用开始呈现“一纲多本”“多纲多本”的局面。其中，高中两省一市（天津、山西、江西）1997年秋进入高一的20多万名学生，于2000年夏完成学业并进行了高考。小学初中实施九年义务义务教育方案，1992年、1993年在小学、初中开始实施，1996年夏季，初中第一轮实验结束，1996年12月，教育部组织有关专家进行九年义务教育课程实施方案的调查，1997年12月公布《九年义务教育课程实施方案的调查报告》。

20世纪90年代，是新中国成立50年来以来中国中小学数学教材改革发展的第三阶段，其突出特征是，关注知识的获得，又关注知识的获取过程，努力构建有利于学生接受和能力培养的“教”材体系。

七、 21世纪初期以来的中国中小学数学教科书的发展

2001年2月，国务院批准《基础教育课程改革纲要（试行）》，标志着我国基础教育课程改革全面启动。作为数学学科来说，2000年3月，《数学课程标准》（征求意见稿）的颁布，提出了“三位一体”的教育目标，“关注结果，关注过程，关注情感态度价值观”，及随后2001年9月开始数学课程标准实验教科书的正式实验。新型的教科书正在形成，并逐步体现出“人的全面发展观”下的新风貌。从历史发展的视角，我们认为，这一时期数学教科书的突出特征是，关注结果，关注过程，关注情感态度价值观，“学”材特征特别明显（孔凡哲义务教育课程标准实验教科书数学的主要特点[J]，（人大报刊复印资料）中学数学教与学，2004（07）：38-43）。亦即，一方面，围绕知识技能、过程方法、情感态度价值观而展开，关注人的全面、健康可持续发展，体现数学与学科内外的必然联系，体现社会进步、科技经济发展，关注学生数学思维水平的切实提升。另一方面，教科书的“学”材特征特别明显。这是“人的全面发展观”在教科书中的自然体现，也是素质教育进数学教科书的自然体现。随着改革的不断深入，诸如“学生用书与教师用书应该明确不同职责、亟待出现立体化教科书”等等新要求日趋凸现（孔凡哲数学课程标准实验教科书发展中的问题及其对策[J]，教育科学研究，2005（03）：53-56）。

八、 中国中小学数学教科书的未来发展趋势展望

2007年以来，随着《全日制义务教育数学课程标准》（修改稿）的完成，中小学数学教科书在关注数学基础知识、基本技能的同时，也在很大程度上关注基本的数学活动经验以及数学的核心思维方式方法（演绎、抽象、归纳、类比等等）。亦即：

关注基础知识、基本技能，关注数学活动经验，数学思想（数学能力，数学思维方式方法），既关注归纳思维的养成，也关注演绎思维的培养和发展，既关注发现问题、提出问题能力的培养，也关注分析问题、解决问题能力的培养。

回顾中国几千以来中小学数学教育（特别是数学教科书）的发展，我们看到，数学教科书的发展大致经历了如下几个典型的发展阶段（参见下图、表）：

开放的归纳体系 重逻辑思维训练的系统的演绎体系

欧氏几何学特征的教科书体系，

关注双基和三大能力的培养（中国创造）

关注归纳体系，但不抛弃演绎体系 年代

线索 古代

中国 “西学东渐”时期 20世纪

上半叶 20世纪

下半叶 21世纪 “归纳”

线索 主体 教育主体 退缩，仍有存在 有些痕迹，但不受重视 开始关注 “演绎”

线索 零散 少数人关注，未走向大众 主体内容之一 主体内容 有所降低，仍是主角之一；有部分现代数学内容 中国的数学科学发展 实用数学为主 近代数学产生和发展 近现代数学奠基和发展 数学分支学科纷纷派生 数学发展带来新挑战 其中，20世纪20、30年代有“混科编排”、“分科编排”两种风格，而实验几何、综合数学即使在今天也有参考价值（虽然当时未成为主导趋势）。这个发展脉络，可以给我们一些启示，即：从教科书视角看，重归纳、重实用是古代中国的数学教育传统，特别是，形成了“问 (问题—模型)→答→术 (原理、规则、算法) ”的教科书呈现模式；

20世纪50年代后的一定时期一度忽略（甚至丢掉）了这个传统，而转向重视演绎、重视基础知识、基本技能的近代新习惯，形成“概念→公理、定理、法则、公式→应用、强化”的教科书呈现模式，虽然这种模式是必需的，但过于单一、不能反映数学的全貌，也影响了数学的