宋朝最大的数学家是到南宋时才产生的。北宋时最有名的数学家只有贾宪(11世纪人)。贾宪的两部数学著作失传了，但他以首创高次幂开方法——贾宪三角而留名。

南宋时出现了一位大数学家秦九韶(1202～1261)。秦生于四川，辗转来到了南宋的京城杭州。除了古代数学遗产外，秦还经常“从隐君子受数学”，这些隐君子中有中国民间数学家，也不乏旅居杭州的阿拉伯学者和商人。他写了《数学九章》，创立求数学方程正根的方法。在秦九韶看来，数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”(《数学九章序》)。

比秦九韶年龄小一些的杭州人杨辉也是南宋一个有名的数学家。

朋友们，大家好！

       宋元数学四大家之一的杨辉，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。

       说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起。

        后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。

        杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275 年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。但长期以来，人们习惯于把它当作纯粹的数学游戏，没有给予应有重视。

        随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中，找到了用武之地。

        杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。

       杨辉除此成就之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。

       有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋数家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一张图，叫作“开方作法本源图”。在西方，直到16 世纪才有人在一本书的封面上绘出类似的图形。法国数学家巴斯加在1654 年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”。

        杨辉除上述成就外，还分别写了《日用算法》、《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当时的数学面貌提供了极为重要的资料。

         杨辉的几部著作极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，他不愧为“宋元四大家”之一。

首先必须说明的是，我国古代从始至终都是仅有一点点极限的想法而已，却并没有在这个问题再进一步。宋代的确可以算得上是我国古代数学的巅峰，在南宋北宋三百多年的时间里出现的数学成就。沈括，这个被誉为中国古代百科全书式的科学家在数学上的造诣颇深，他创立了“隙积术”和“会圆术”。

隙积术类似于现在等差数列求和的方法，会圆术则说明了某些特殊情况圆弧面积或者弧长的求法，他重点研究了圆内弦与弧至今的位置以及数量关系。

贾宪在《黄帝九章算法细草》一书中提出了可以开任何次方根的“增乘开方法”，后来杨辉在贾宪的基础上又发展出了可以用增乘开方法去计算四次方根的例子。另外这两位都共享了一个非常著名的结论，杨辉三角，或者叫贾宪三角。

这个三角在排列组合上有着巨大的应用价值。这个三角把二项式系数用图像化的方式展现出来，使得人们在计算高阶二项展开式时，可以非常方便调用各项的系数。在西方，人们通常都把这样的三角形叫做“帕斯卡三角形”。

1665年，布莱士·帕斯卡在论著《算术三角形》中首次提到这个计算三角形，但实际上这至少比贾宪晚了四百年时间。还有一位著名的数学家秦九韶，这个人的生平其实很精彩，什么都做过，县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。

这里我们只说他的数学成就，他深入发展了“增乘开方法”，并且给出了二十余种利用此方法开高阶次方的实例。

秦九韶同志开推广了孙子定理，发展了一次同余理论。另外秦九韶还得出过一个类似于海伦公式一致的三角形面积计算公式，即已知三角形三边情况下求解面积。秦九韶在多项式求和方面提出过一个算法，我们叫秦九韶算法，此算法在计算多项式和的方法大大简化了系统计算复杂度，直到19世纪初，这套算法才由英国国数学家威廉·乔治·霍纳重新发现并证明，大约晚于中国600年左右。

但是，我们也必须认识到，中国古代的数学实际上都是在发展着算术，或者叫工程数学。

很多时代数学家研究的问题其实都算是单打独斗，并没有多少传承，一点不像西方的数学一脉接一脉，连绵不绝。我国古代把算术这门技术算在了六艺中的最末段，国家层面不太支持，那么就自然而然不会有那么多人去深刻的研究了。

就我的理解，我认为微积分最重要的就是极限思想以及对于各种无穷量的考量。极限思想里，我们看到刘徽，祖冲之等人的割圆术就已经蕴含极限思想了。

倘若他们能够剥离割圆术的本身，而把极限这个思想深入研究下去，或许会发展成为一套理论，让这个理论应用在更多的场合，然而始终都没有。

所以说，中国从古代到现在，对于数学的研究都是偏向工程应用类，没有一个完善理论体系的支撑。想要成为一个数学大国的目标仍然是任重而道远啊。 

《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。

《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍并证明了勾股定理。

《周髀算经》的采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包涵南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。