矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是mn型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n matrix。

特别的：A:mn,B:ns,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

参考资料：

- 矩阵的秩

1，零

在很早的时候，以为“1”是“数字字符表”的开始，并且它进一步引出了2，3，4，5等其他数字。这些数字的作用是，对那些真实存在的物体，如苹果、香蕉、梨等进行计数。直到后来，才学会，当盒子里边已经没有苹果时，如何计数里边的苹果数。

2，数字系统

数字系统是一种处理“多少”的方法。不同的文化在不同的时代采用了各种不同的方法，从基本的“1，2，3，很多”延伸到今天所使用的高度复杂的十进制表示方法。

3，π

π是数学中最著名的数。忘记自然界中的所有其他常数也不会忘记它，π总是出现在名单中的第一个位置。如果数字也有奥斯卡奖，那么π肯定每年都会得奖。

π或者pi，是圆周的周长和它的直径的比值。它的值，即这两个长度之间的比值，不取决于圆周的大小。无论圆周是大是小，π的值都是恒定不变的。π产生于圆周，但是在数学中它却无处不在，甚至涉及那些和圆周毫不相关的地方。

4，代数

代数给了一种崭新的解决间题的方式，一种“回旋”的演年方法。这种“回旋”是“反向思维”的。让我们考虑一下这个问题，当给数字25加上17时，结果将是42。这是正向思维。这些数，需要做的只是把它们加起来。

但是，假如已经知道了答案42，并提出一个不同的问题，即现在想要知道的是什么数和25相加得42。这里便需要用到反向思维。想要知道未知数x的值，它满足等式25＋x＝42，然后，只需将42减去25便可知道答案。

5，函数

莱昂哈德·欧拉是瑞士数学家和物理学家。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人,例如：y = F(x)，他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。

这是秩为1的特殊矩阵, 有关结论如下:

设A是秩为1的n阶方阵, 则

1 A可表示为αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0)

反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0), 则r(A)=1

2 A^k = (β^Tα)^(k-1)A

3 A的特征值为 α^Tβ(=β^Tα),0,0,,0

4 tr(A)=α^Tβ

说明:

1 方法: 取A的一个非零的行向量,设为 β^T,

则其余各行是此行的ki倍

令α=(k1,,kn)^T, 则 A=αβ^T

比如

1 2 3

2 4 6

0 0 0

β=(1,2,3)^T, α = (1,2,0)^T

反之, 若A=αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0)

则 A≠0, 所以 r(A)>=1

又因为 r(A)=r(αβ^T)<=r(α)=1

所以 r(A)=1

2 A^k=(αβ^T)(αβ^T)(αβ^T)(αβ^T)

= α(β^Tα)(β^Tα)(β^Tα)β^T

= (β^Tα)^(k-1)αβ^T

= (β^Tα)^(k-1)A

3

因为 Aα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=(β^Tα)α

所以α是A的属于特征值β^Tα(≠0)的特征向量

因为r(A)=1

所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含 n-1 个向量

即A的属于特征值0的线性无关的特征向量有n-1个

所以0至少是A的n-1重特征值

而n阶方阵有n个特征值

所以A的特征值为 β^Tα,0,0,,0(n-1重)

属于特征值0的特征向量:

设β=(b1,b2,,bn)^T≠0, 不妨设b1≠0

则A经初等行变换化为

b1 b2bn

0 0 0

0 0 0

Ax=0的基础解系为

(b2,-b1,0,,0)^T

(b3,0,-b1,,0)^T

(bn,0,0,,-b1)^T

此即为A的属于特征值0的n-1个线性无关的特征向量

代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象。 术语簇（variety）取自拉丁语族中词源（cognate of word）的概念，有基于“同源”而“变形”之意。 历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。在此基础上，希尔伯特零点定理提供了多项式环的理想和仿射空间子集的基本对应。利用零点定理和相关结果，我们能够用代数术语捕捉簇的几何概念，也能够用几何来承载环论中的问题。

秩是线性代数术语，在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是 A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A 的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 rk( A ) 或 rank A 。

m × n 矩阵的秩最大为 m 和 n 中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

基本介绍 中文名 ：秩 外文名 ：Rank 拼音 ：zhì 分类 ：线性代数术语 可替代的定义,性质,计算,套用, 可替代的定义 用向量组的秩定义 向量组的秩：在一个 m 维线性空间 E 中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑 m × n 矩阵，将 A 的秩定义为向量组 F 的秩，则可以看到如此定义的 A 的秩就是矩阵 A 的线性无关纵列的极大数目，即 A 的列空间的维度(列空间是由 A 的纵列生成的 F 的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A 的秩为 A 的行空间的维度。 用线性映射定义 考虑线性映射： 对于每个矩阵 A ， f A 都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射 f ，都存在矩阵 A 使得 f = f A 。也就是说，映射 是一个同构映射。所以一个矩阵 A 的秩还可定义为 f A 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 A 称为 f A 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n 减 f 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 f 的像的维度。 性质 我们假定 A 是在域 F 上的 m × n 矩阵并描述了上述线性映射。 只有零矩阵有秩 0 A 的秩最大为 min( m , n ) f 是单射，若且唯若 A 有秩 n （在这种情况下，我们称 A 有“满列秩”）。 f 是满射，若且唯若 A 有秩 m （在这种情况下，我们称 A 有“满行秩”）。在方块矩阵 A （就是 m = n ) 的情况下，则 A 是可逆的，若且唯若 A 有秩 n （也就是 A 有满秩）。如果 B 是任何 n × k 矩阵，则 AB 的秩最大为 A 的秩和 B 的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推广到若干个矩阵的情况，就是：秩（A1A2Am)≤min（秩（A1），秩（A2），秩（Am)) 证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为 f 和 g ，则秩（AB)表示复合映射 f·g ，它的象 Im f·g 是 g 的像 Im g 在映射 f 作用下的象。然而 Im g 是整个空间的一部分，因此它在映射 f 作用下的象也是整个空间在映射 f 作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g 是 Im f 的一部分。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑 Im g 的一组基：（e1，e2，，en），容易证明（f(e1），f(e2），，f(en））生成了空间 Im f·g ，于是 Im f·g 的维度小于等于 Im g 的维度。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。作为 "<" 情况的一个例子，考虑积 两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。可以看出，等号成立若且唯若其中一个矩阵（比如说 A ）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时 A 是满秩的。于是有以下性质：如果 B 是秩 n 的 n × k 矩阵，则 AB 有同 A 一样的秩。如果 C 是秩 m 的 l × m 矩阵，则 CA 有同 A 一样的秩。 A 的秩等于 r ，若且唯若存在一个可逆 m × m 矩阵 X 和一个可逆的 n × n 矩阵 Y 使得 这里的 I r 指示 r × r 单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。 矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。 计算 计算矩阵 A 的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A 的行梯阵形式有同 A 一样的秩，它的秩就是非零行的数目。 例如考虑 4 × 4 矩阵 我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的，所以 A 的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列 A 的行梯阵形式： 它有两个非零的横行。 在套用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和套用二者。 套用 计算矩阵的秩的一个有用套用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程（未知数）的数目，则方程有唯一解；如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。 在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。