《孙子算经》里的孙子问题

在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何”(答曰：二十三)这就是闻名于世的“孙子问题”。《孙子算经》中给出了它的一般解法：“术日：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”明朝数学家程大位在所著《算法统宗》中把这一解法概括为四句歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”具体到本题的结果，由70×2+21×3+15×2—2×105=23得所求物为23个，一般地说，所求物个数是23+105n(n=0，1，2，3……)。它的解答要用到不定方程的知识或同余的知识。

　　《孙子算经》对于“孙子问题”的解答暗示了一般途径，由它作出的理论概括，被西方誉为“中国剩余定理”。孙子问题的算法还有其他一些名称，如“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”和“韩信点兵”等。其中“韩信点兵”也指这样的问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。下面给出它的一个算术解法：(1)在6、7、11的公倍数中找一个被5除余1的数，如3×462；(2)在5、7、11的公倍数中找一个被6除余5的数，如5×385；(3)在5、6、11公倍数中找一个被7除余4的数，如4~330；(4)在5、6、7的公倍数中找一个被ll除余1O的数，如10×210；(5)3×462+5×385+4×330+lO×210=6731，则6731是满足条件的一个数，它比5、6、7、11的最小公倍数2310大，若求满足条件的最小正数，则应从6731中减去2310的两倍，得211l，由此所求兵数的一般结果是2111+2310 n(n=0，1，2，……)。这种算术解法也适用于“孙子问题”。

《孙子算经》中的中国剩余定理

最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学《孙子算经》著作中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：

“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。

《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：

70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23

后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：

“三人同行七十（70）稀，

五树梅花二一（21）枝。

七子团圆正半月（15），

除百零五（105）便得知。

为什么被3除的余数要乘70，而被5除的余数乘21，被7除的余数乘15呢？仔细研究不难发现：

5×7×2≡1（mod3），3×7≡1（mod5），3×5≡1（mod7），

这就是中国南宋数学家秦九韶在他的《数书九章》中提出的“大衍求一术”的理论，通俗地说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。该理论在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。

如何运用中国剩余定理解题呢？

例1 除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是多少？

这类题目可以直接运用上述的诗歌内容来解答，即用被3除的余数去乘70，用被5除的余数去乘21，用被7除的余数去乘15，再根据要求找出最小的三位数：

1×70＋2×21＋4×15＝70＋42＋60＝172

由于172减去105的差为67，是两位数，所以最小的三位数是172。

例2 一个数除以5余3，除以7余4，除以9余5，这个数最少是多少？

此题由于出现“除以9余5”，因此，如果照搬上述的方法显然是行不通的，但仍可以运用上述的思维方式进行解答。

7×9≡3（mod5），余数同题中所要求的“一个数除以5余3”相同。

5×9≡3（mod7），而题中要求“一个数除以7余4”，因此，只有将5×9的积扩大一定倍数，让其积被7除余4才可，即：5×9×6≡270≡4（mod7）。

同理，5×7≡8（mod9），只有5×7×4≡140≡5（mod9）。

因此，这个数的解法为：

7×9＋5×9×6＋5×7×4－5×7×9

=63＋270＋140－315

=473－315

=158

所以，这个数最少是158。

在这题的解法中，有一个值得探讨的问题是：在5×9≡3（mod7），余数与题中要求的“一个数除以7余4”不符时，为什么一定要将5×9的积扩大6倍，使其积被7除余4呢？这是因为这样的数就满足了能被5和9整除，同时被7除余4的要求，即5×9×6≡4（mod7）≡0（mod5）≡0（mod9）。同理，7×9≡3（mod5）≡0（mod7）≡0（mod9），5×7×4≡5（mod9）≡0（mod5）≡0（mod7）。所以，（5×9×6＋7×9＋5×7×4）≡473≡4（mod7）≡3（mod5）≡5（mod9）。

孙子算经

〈四库全书．孙子算经．提要〉：

　　臣等谨案〈隋．经籍志〉有《孙子算经》二卷，不着其名，亦不着其时代，〈唐．艺文志〉称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷于孙子上冠以甄鸾，盖如淳风之注《周髀算经》因鸾所注，更加辨论也。《隋书》审度引《孙子算术》：「蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为牦，十牦为分。」本书乃作：「十忽为一丝，十丝为一毫。」又论嘉量，引《孙子算术》：「六粟为圭，十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合。」本书乃作：「十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺。」考之《夏侯阳算经》引田曹、仓曹亦如本书，而《隋书》中所引与史传往往多合，盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参

差互见也。唐之选举，算学凡十书，《孙子》《五曹》共限一岁习肄，于后来诸算术中，特为近古，第不知孙子何许人，《朱彝尊集》〈五曹算经．跋〉：「相传其法出于孙武，然孙子别有算经，考古者存其说可尔。」又有〈孙子算经．跋〉云：「首言度量，所起合乎兵法：『地生度，度生量，量生数』之文，次言乘除之法，设为之数，十三篇中所云：

『廓地分利、委积、远输贵卖、兵役、分数』比之《九章》〈方田〉、〈粟米〉、〈差分〉、〈商功〉、〈均输〉、〈盈不足〉之目，往往相符，而要在『得算多，多算胜』以是知此编非伪托也。」彝尊之意，盖以为确出于孙武。今考书内设问有云：「长安、洛阳相去九百里」又云：「佛书二十九章，章六十三字。」则后汉明帝以后人语。孙武，春秋末人，安有是语乎！旧本久佚，今从《永乐大典》所载□集编次，仍为三卷，冠以〈原序〉，其甄、李二家之注，则不可复考，是则姚广孝等割裂刊削之过矣。干隆四十三年七月，恭校上。

　　总纂官：臣纪昀、臣陆锡熊、臣孙士毅。

　　总校官：臣陆费墀。

〈原序〉

　　孙子曰：夫算者：天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神祇之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析泰絫。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者，富有余；背之者，贫且寠。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！

〈卷上〉

　　度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一牦，十牦为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，五十引为一端，四十尺为一匹，六尺为一步，二百四十步为一亩，三百步为一里。

　　称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。

　　量之所起，起于粟。六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，十斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十粟为一撮，十撮六百粟为一抄，十抄六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万粟为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛，十斛六亿粟百，斛六兆粟，千斛六京粟，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六穰粟，千万斛六沟粟，万万斛为一亿六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。

　　凡大数之法：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。

　　周三，径一，方五，邪七。见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。

　　白银方寸重一十四两。

　　玉方寸重一十两。

　　铜方寸重七两半。

　　铅方寸重九两半。

　　铁方寸重七两。

　　石方寸重三两。

　　凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。（案：万百原本讹作百万，今据《夏侯阳算经》改正。）

　　凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。言十即过，不满，自如头位。乘讫者，先去之下位；乘讫者，则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。

　　凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。）余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。

　　以粟求粝米，三之，五而一。

　　以粝米求粟，五之，三而一。

　　以粝米求饭，五之，二而一。

　　以粟米求粝饭，六之，四而一。

　　以粝饭求粝米，二之，五而一。

　　以□米求饭，八之，四而一。

　　十分减一者，以二乘二十除；减二者，以四乘二十除；减三者，以六乘二十除；减四者，以八乘二十除；减五者，以十乘二十除；减六者，以十二乘二十除；减七者，以十四乘二十除；减八者，以十六乘二十除；减九者，以十八乘二十除。

　　九分减一者，以二乘十八除。

　　八分减一者，以二乘十六除。

　　七分减一者，以二乘十四除。

　　六分减一者，以二乘十二除。

　　五分减一者，以二乘十除。

　　九九八十一，自相乘得几何？答曰：六千五百六十一。

　　术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四即下，六千四百于中位；以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上头位八十（案：原本脱「上」字，今补。）以上位一（案：上位原本讹作「头位」，今改正。）呼下八，一八如八，即于中位，下八十；以上一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。

　　六千五百六十一，九人分之。问：人得几何？答曰：七百二十九。

　　术曰：先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人为法，头位置七百（案：原本脱上字，今补。），以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位，置二十（案：上位原本讹作头位，今改正。），以上二呼下九，二九一十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位，更置九（案：上位原本亦讹作头位，今改正。），即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位并尽，收下位，头位所得即人之所得，自八八六十四至一一如一，并准此。

　　八九七十二，自相乘，得五千一百八十四，八人分之，人得六百四十八。

　　七九六十三，自相乘，得三千九百六十九，七人分之，人得五百六十七。

　　六九五十四，自相乘，得二千九百一十六，六人分之，人得四百八十六。

　　五九四十五，自相乘，得二千二十五，五人分之，人得四百五。

　　四九三十六，自相乘，得一千二百九十六，四人分之，人得三百二十四。

　　三九二十七，自相乘，得七百二十九，三人分之，人得二百四十三。

　　二九一十八，自相乘，得三百二十四，二人分之，人得一百六十二。

　　一九如九，自相乘，得八十一，一人得八十一。

　　右九九一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五，九人分之，人得八千二百二十五。

　　八八六十四，自相乘，得四千九十六，八人分之，人得五百一十二。

　　七八五十六，自相乘，得三千一百三十六，七人分之，人得四百四十八。

　　六八四十八，自相乘，得二千三百四，六人分之，人得三百八十四。

　　五八四十，自相乘，得一千六百，五人分之，人得三百二十。

　　四八三十二，自相乘，得一千二十四，四人分之，人得二百五十六。

　　三八二十四，自相乘，得五百七十六，三人分之，人得一百九十二。

　　二八十六，自相乘，得二百五十六，二人分之，人得一百二十八。

　　一八如八，自相乘，得六十四，一人得六十四。

　　右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四，八人分之，人得一万三百六十八。

　　七七四十九，自相乘，得二千四百一，七人分之，人得三百四十三。

　　六七四十二，自相乘，得一千七百六十四，六人分之，人得二百九十四。

　　五七三十五，自相乘，得一千二百二十五，五人分之，人得二百四十五。

　　四七二十八，自相乘，得七百八十四，四人分之，人得一百九十六。

　　三七二十一，自相乘，得四百四十一，三人分之，人得一百四十七。

　　二七一十四，自相乘，得一百九十六，二人分之，人得九十八。

　　一七如七，自相乘，得四十九，一人得四十九。

　　右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六，七人分之，人得五千四百八十八。

　　六六三十六，自相乘，得一千二百九十六，六人分之，人得二百一十六。

　　五六三十，自相乘，得九百，五人分之，人得一百八十。

　　四六二十四，自相乘，得五百七十六，四人分之，人得一百四十四。

　　三六一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

　　二六一十二，自相乘，得一百四十四，二人分之，人得七十二。

　　一六如六，自相乘，得三十六，一人得三十六。

　　右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六，六人分之，人得二千六百四十六。

　　五五二十五，自相乘，得六百二十五，五人分之，人得一百二十五。

　　四五二十，自相乘，得四百，四人分之，人得一百。

　　三五一十五，自相乘，得二百二十五，三人分之，人得七十五。

　　二五一十，自相乘，得一百，二人分之，得五十。

　　一五如五，自相乘，得二十五，一人得二十五。

　　右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五，五人分之，人得一千一百二十五。

　　四四一十六，自相乘，得二百五十六，四人分之，人得六十四。

　　三四一十二，自相乘，得一百四十四，三人分之，人得四十八。

　　二四如八，自相乘，得六十四，二人分之，人得三十二。

　　一四如四，自相乘，得一十六，一人得一十六。

　　右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百，四人分之，人得四百。

　　三三如九，自相乘，得八十一，三人分之，人得二十七。

　　二三如六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。

　　一三如三，自相乘，得九，一人得九。

　　右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

　　二二如四，自相乘，得一十六，二人分之，人得八。

　　一二如二，自相乘，得四，一人得四。

　　右二二一条，得六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。

　　一一如一，自相乘，得一，一乘不长。

　　右从九九至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百三十三万四千二十五，九人分之，人得一十四万八千二百二十五。

　　以九乘一十二，得一百八，六人分之，人得一十八。

　　以二十七乘三十六，得九百七十二，一十八人分之，人得五十四。

　　以八十一乘一百八，得八千七百四十八，五十四人分之，人得六十二。

　　以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二，一百六十二人分之，人得四百八十六。

　　以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八，四百八十六人分之，人得一千四百五十八。

　　以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二，一千四百五十八人分之，得四千三百七十四。

　　以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八，四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。

　　以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二，一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。

　　以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八，三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。

　　以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六，得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二，一十一万八千九十八人分之，得三十五万四千二百九十四。

　　以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八，三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。

〈卷中〉

　　今有一十八分之一十二。问：约之得几何？答曰：三分之二。

　　术曰：置十八分在下，一十二分在上，副置二位以少减多，等数得六为法，约之即得。

　　今有三分之一、五分之二。问：合之二得几何？答曰：一十五分之十一。

　　术曰：置三分五分在右方，之一之二在左方，母互乘子，五分之二得六，三分之一得五，并之，得一十一为实；又方二母相乘，得一十五为法。不满法，以法命之，即得。

　　今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？答曰：四十五分之三十一。

　　术曰：置九分五分在右方，之八之一在左方，母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十，以少减多，余三十一，为实；母相乘，得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。

　　今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，几何而平？答曰：减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，而各平于一十二分之七。

孙子曰：兵者，国之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。

故经之以五事，校之以计而索其情：一曰道，二曰天，三曰地，四曰将，五曰法。道者，令民与上同意也，故可以与之死，可以与之生，而不畏危。天者，阴阳、寒暑、时制也。地者，远近、险易、广狭、死生也。将者，智、信、仁、勇、严也。法者，曲制、官道、主用也。凡此五者，将莫不闻，知之者胜，不知者不胜。

故校之以计而索其情，曰：主孰有道？将孰有能？天地孰得？法令孰行？兵众孰强？士卒孰练？赏罚孰明？吾以此知胜负矣。

将听吾计，用之必胜，留之；将不听吾计，用之必败，去之。计利以听，乃为之势，以佐其外。势者，因利而制权也。兵者，诡道也。故能而示之不能，用而示之不用，近而示之远，远而示之近。利而诱之，乱而取之，实而备之，强而避之，怒而挠之，卑而骄之，佚而劳之，亲而离之。攻其无备，出其不意。此兵家之胜，不可先传也。

夫未战而庙算胜者，得算多也；未战而庙算不胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况于无算乎！吾以此观之，胜负见矣。

2作战篇

孙子曰：凡用兵之法，驰车千驷，革车千乘，带甲十万，千里馈粮，则内外之费，宾客之用，胶漆之材，车甲之奉，日费千金，然后十万之师举矣。

其用战也胜，久则钝兵挫锐，攻城则力屈，久暴师则国用不足。夫钝兵挫锐，屈力殚货，则诸侯乘其弊而起，虽有智者，不能善其后矣。故兵闻拙速，未睹巧之久也。夫兵久而国利者，未之有也。故不尽知用兵之害者，则不能尽知用兵之利也。

善用兵者，役不再籍，粮不三载；取用于国，因粮于敌，故军食可足也。

国之贫于师者远输，远输则百姓贫；近师者贵卖，贵卖则百姓财竭，财竭则急于丘役。力屈财殚，中原内虚于家。百姓之费，十去其七；公家之费，破车罢马，甲胄矢弩，戟楯蔽橹，丘牛大车，十去其六。

故智将务食于敌，食敌一钟，当吾二十钟；萁秆一石，当吾二十石。故杀敌者，怒也；取敌之利者，货也。故车战，得车十乘以上，赏其先得者，而更其旌旗，车杂而乘之，卒善而养之，是谓胜敌而益强。故兵贵胜，不贵久。

故知兵之将，生民之司命，国家安危之主也。

3谋攻篇

孙子曰：凡用兵之法，全国为上，破国次之；全军为上，破军次之；全旅为上，破旅次之；全卒为上，破卒次之；全伍为上；破伍次之。是故百战百胜，非善之善者也；不战而屈人之兵，善之善者也。

故上兵伐谋，其次伐交，其次伐兵，其下攻城。攻城之法，为不得已，修橹轒辒，具器械，三月而后成，距闉，又三月而后已。将不胜其忿而蚁附之，杀三分之一，而城不拔者，此攻之灾也。

故善用兵者，屈人之兵而非战也，拔人之城而非攻也，毁人之国而非久也。必以全争于天下，故兵不顿而利可全，此谋攻之法也。

故用兵之法，十则围之，五则攻之，倍则分之，敌则能战之，少则能逃之，不若则能避之。故小敌之坚，大敌之擒也。

夫将者，国之辅也，辅周则国必强，辅隙则国必弱。

故君之所以患于军者三：不知军之不可以进，而谓之进；不知军之不可以退，而谓之退，是谓縻军。不知三军之事，而同三军之政者，则军士惑矣。不知三军之权，而同三军之任，则军士疑矣。三军既惑且疑，则诸侯之难至矣，是谓乱军引胜。

故知胜有五：知可以战与不可以战者胜，识众寡之用者胜，上下同欲者胜，以虞待不虞者胜，将能而君不御者胜。此五者，知胜之道也。

故曰：知彼知己者，百战不殆；不知彼而知己，一胜一负；不知彼不知己，每战必殆。

4形篇

孙子曰：昔之善战者，先为不可胜，以待敌之可胜。不可胜在己，可胜在敌。

故善战者，能为不可胜，不能使敌之可胜。故曰：胜可知，而不可为。不可胜者，守也；可胜者，攻也。守则不足，攻则有余。善守者，藏于九地之下；善攻者，动于九天之上，故能自保而全胜也。

见胜不过众人之所知，非善之善者也；战胜而天下曰善，非善之善者也。故举秋毫不为多力，见日月不为明目，闻雷霆不为聪耳。古之所谓善战者，胜于易胜者也。故善战者之胜也，无智名，无勇功，故其战胜不忒。不忒者，其所措必胜，胜已败者也。故善战者，立于不败之地，而不失敌之败也。是故胜兵先胜而后求战，败兵先战而后求胜。善用兵者，修道而保法，故能为胜败之政。

兵法：一曰度，二曰量，三曰数，四曰称，五曰胜。地生度，度生量，量生数，数生称，称生胜。

故胜兵若以镒称铢，败兵若以铢称镒。胜者之战民也，若决积水于千仞之溪者，形也。

5势篇

孙子曰：凡治众如治寡，分数是也；斗众如斗寡，形名是也；三军之众，可使必受敌而无败者，奇正是也；兵之所加，如以碫投卵者，虚实是也。

凡战者，以正合，以奇胜。故善出奇者，无穷如天地，不竭如江河。终而复始，日月是也；死而复生，四时是也。声不过五，五声之变，不可胜听也；色不过五，五色之变，不可胜观也；味不过五，五味之变，不可胜尝也；战势不过奇正，奇正之变，不可胜穷也。奇正相生，如循环之无端，孰能穷之？

激水之疾，至于漂石者，势也；鸷鸟之疾，至于毁折者，节也。是故善战者，其势险，其节短。势如彍弩，节如发机。纷纷纭纭，斗乱而不可乱也；浑浑沌沌，形圆而不可败也。

乱生于治，怯生于勇，弱生于强。治乱，数也；勇怯，势也；强弱，形也。

故善动敌者，形之，敌必从之；予之，敌必取之。以利动之，以卒待之。

故善战者，求之于势，不责于人，故能择人而任势。任势者，其战人也，如转木石。木石之性，安则静，危则动，方则止，圆则行。故善战人之势，如转圆石于千仞之山者，势也。

6虚实篇

孙子曰：凡先处战地而待敌者佚，后处战地而趋战者劳。故善战者，致人而不致于人。

能使敌人自至者，利之也；能使敌人不得至者，害之也。故敌佚能劳之，饱能饥之，安能动之。出其所不趋，趋其所不意。行千里而不劳者，行于无人之地也。攻而必取者，攻其所不守也；守而必固者，守其所不攻也。故善攻者，敌不知其所守；善守者，敌不知其所攻。微乎微乎，至于无形；神乎神乎，至于无声，故能为敌之司命。

进而不可御者，冲其虚也；退而不可追者，速而不可及也。故我欲战，敌虽高垒深沟，不得不与我战者，攻其所必救也；我不欲战，画地而守之，敌不得与我战者，乖其所之也。

故形人而我无形，则我专而敌分。我专为一，敌分为十，是以十攻其一也，则我众而敌寡。能以众击寡者，则吾之所与战者，约矣。吾所与战之地不可知，不可知，则敌所备者多；敌所备者多，则吾所与战者，寡矣。故备前则后寡，备后则前寡；备左则右寡，备右则左寡；无所不备，则无所不寡。寡者，备人者也；众者，使人备己者也。

故知战之地，知战之日，则可千里而会战。不知战地，不知战日，则左不能救右，右不能救左，前不能救后，后不能救前，而况远者数十里，近者数里乎？以吾度之，越人之兵虽多，亦奚益于胜败哉？故曰：胜可为也。敌虽众，可使无斗。

故策之而知得失之计，作之而知动静之理，形之而知死生之地，角之而知有馀不足之处。

故形兵之极，至于无形。无形，则深间不能窥，智者不能谋。因形而错胜于众，众不能知。人皆知我所以胜之形，而莫知吾所以制胜之形。故其战胜不复，而应形于无穷。

夫兵形象水，水之形，避高而趋下；兵之形，避实而击虚。水因地而制流，兵因敌而制胜。故兵无常势，水无常形，能因敌变化而取胜者，谓之神。故五行无常胜，四时无常位，日有短长，月有死生。

7军争篇

孙子曰：凡用兵之法，将受命于君，合军聚众，交和而舍，莫难于军争。军争之难者，以迂为直，以患为利。故迂其途，而诱之以利，后人发，先人至，此知迂直之计者也。

故军争为利，军争为危。举军而争利，则不及；委军而争利，则辎重捐。是故卷甲而趋，日夜不处，倍道兼行，百里而争利，则擒三将军。劲者先，疲者后，其法十一而至。五十里而争利，则蹶上将军，其法半至；三十里而争利，则三分之二至。是故军无辎重则亡，无粮食则亡，无委积则亡。

故不知诸侯之谋者，不能豫交；不知山林、险阻、沮泽之形者，不能行军；不用乡导者，不能得地利。

故兵以诈立，以利动，以分合为变者也。故其疾如风，其徐如林，侵掠如火，不动如山，难知如阴，动如雷震。掠乡分众，廓地分利，悬权而动。先知迂直之计者胜，此军争之法也。

《军政》曰：“言不相闻，故为金鼓；视不相见，故为旌旗。”夫金鼓、旌旗者，所以一人之耳目也。人既专一，则勇者不得独进，怯者不得独退，此用众之法也。故夜战多金鼓，昼战多旌旗，所以变人之耳目也。

故三军可夺气，将军可夺心。是故朝气锐，昼气惰，暮气归。故善用兵者，避其锐气，击其惰归，此治气者也。以治待乱，以静待哗，此治心者也。以近待远，以佚待劳，以饱待饥，此治力者也。无邀正正之旗，勿击堂堂之阵，此治变者也。

故用兵之法：高陵勿向，背丘勿逆，佯北勿从，锐卒勿攻，饵兵勿食，归师勿遏，围师必阙，穷寇勿迫，此用兵之法也。

8九变篇

孙子曰：凡用兵之法，将受命于君，合军聚众。圮地无舍，衢地合交，绝地无留，围地则谋，死地则战。

途有所不由，军有所不击，城有所不攻，地有所不争，君命有所不受。故将通于九变之地利者，知用兵矣。将不通于九变之利，虽知地形，不能得地之利矣。

治兵不知九变之术，虽知五利，不能得人之用矣。是故智者之虑，必杂于利害。杂于利，而务可信也；杂于害，而患可解也。

是故屈诸侯者以害，役诸侯者以业，趋诸侯者以利。

故用兵之法，无恃其不来，恃吾有以待也；无恃其不攻，恃吾有所不可攻也。

故将有五危：必死可杀，必生可虏，忿速可侮，廉洁可辱，爱民可烦。凡此五者，将之过也，用兵之灾也。覆军杀将，必以五危，不可不察也。

9行军篇

孙子曰：凡处军、相敌，绝山依谷，视生处高，战隆无登，此处山之军也。

绝水必远水，客绝水而来，勿迎之于水内，令半济而击之，利；欲战者，无附于水而迎客；视生处高，无迎水流，此处水上之军也。绝斥泽，惟亟去无留。若交军于斥泽之中，必依水草而背众树，此处斥泽之军也。平陆处易，而右背高，前死后生，此处平陆之军也。凡此四军之利，黄帝之所以胜四帝也。

凡军好高而恶下，贵阳而贱阴，养生处实，军无百疾，是谓必胜。丘陵堤防，

必处其阳，而右背之。此兵之利，地之助也。

上雨，水沫至，欲涉者，待其定也。

凡地，有绝涧、天井、天牢、天罗、天陷、天隙，必亟去之，勿近也。吾远之，敌近之；吾迎之，敌背之。

军行有险阻、潢井、葭苇、山林、翳荟者，必谨覆索之，此伏奸之所处也。

敌近而静者，恃其险也；远而挑战者，欲人之进也。其所居易者，利也。

众树动者，来也；众草多障者，疑也；鸟起者，伏也；兽骇者，覆也；尘高而锐者，车来也；卑而广者，徒来也；散而条达者，樵采也；少而往来者，营军也。

辞卑而益备者，进也；辞强而进驱者，退也；轻车先出，居其侧者，阵也；无约而请和者，谋也；奔走而陈兵者，期也；半进半退者，诱也。

杖而立者，饥也；汲而先饮者，渴也；见利而不进者，劳也；鸟集者，虚也；夜呼者，恐也。

军扰者，将不重也；旌旗动者，乱也；吏怒者，倦也；粟马肉食，军无悬缶；不返其舍者，穷寇也；谆谆翕翕，徐与人言者，失众也；数赏者，窘也；数罚者，困也；先暴而后畏其众者，不精之至也；来委谢者，欲休息也；兵怒而相迎，久而不合，又不相去，必谨察之。

兵非多益也，惟无武进，足以并力、料敌、取人而已。夫惟无虑而易敌者，必擒于人。

卒未亲附而罚之，则不服，不服则难用也；卒己亲附而罚不行，则不可用也。

故令之以文，齐之以武，是谓必取。令素行以教其民，则民服；令不素行以教其民，则民不服。令素行者，与众相得也