证明勾股定理即AB的平方+BE的平方=AE的平方。

作者将上面的概念转换为边长a的正方形+边长b的正方形+边长c的正方形,，于是就有了上面的图。

然后用“出入相补法”也就是讲2个小正方形切割再补到大正方形里。

如果能补上就证明了勾股定理。

古希腊学者丢番图（约公元250年）死后，在他的墓碑上刻了一道数学题，题目大意如下：他一生的六分之一是幸福的童年，再活了生米的十二分之一，长起了细细的胡须；丢番图结了婚，可他不曾有孩子，这样度过了一生的七分之一；再过五年他有了头胎儿子，感到很幸福；可是命运给这个孩子在世界上的生命只有他父亲的一半；自从儿子死后，这老人在深深的悲痛中活了四年，也离开了人间。从丢番图的碑文中你知道他活了多少岁吗？

设他活了x岁

（1/6+1/12+1/7+1/2）x+4+5=x

25/28x+9=x

3/28x=9

x=84

算术的有点复杂：（4+5）÷[1-（1/6+1/12+1/7+1/2）]=84

正方形ABCD边长为a ，点B在AG上，

正方形EFGB边长为b ，点C在EB上，

正方形EHIA边长为c ，点H在FG上，

设IJ⊥AG交于J，HI交AG于K，AE交CD于L ；

∵ EA=EH=a，EB=EF=b，∠EBA=∠EFH=90°，

∴ Rt△EFH≌Rt△EBA，∠1=∠2, FH=BA=a ,

∴ Rt△EFH中，

直角边FH=a，直角边EF=b，斜边EH=c ，

∵ ∠2=∠3=∠4=90°-∠EAB，∠1=∠2,

∴ ∠1=∠3，又EH=AI=a，∠EFH=∠AJI=90°，

∴ Rt△EFH≌Rt△AJI，JI=FH=a ，

∵ ∠5=∠3=90°-∠AIJ，∠3=∠4 ,

∴ ∠4=∠5，又DA=JI=a，∠ADL=∠IJK=90°，

∴ Rt△ADL≌Rt△IJK，

∵ ∠6=∠1=90°-∠EHF，∠1=∠2 ,

∴ ∠2=∠6，又EC=HB=b-a，∠LCE=∠KGH=90°

∴ Rt△LCE≌Rt△KGH ；

∴综上所述：正方形ABCD面积+正方形EFGB面积

=正方形EHIA面积；

即：a²+b²=c² ；

∴ 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

正方形ABCD边长为a ，点B在AG上，

正方形EFGB边长为b ，点C在EB上，

正方形EHIA边长为c ，点H在FG上，

设IJ⊥AG交于J，HI交AG于K，AE交CD于L ；

∵ EA=EH=a，EB=EF=b，∠EBA=∠EFH=90°，

∴ Rt△EFH≌Rt△EBA，∠1=∠2, FH=BA=a ,

∴ Rt△EFH中，

直角边FH=a，直角边EF=b，斜边EH=c ，

∵ ∠2=∠3=∠4=90°-∠EAB，∠1=∠2,

∴ ∠1=∠3，又EH=AI=a，∠EFH=∠AJI=90°，

∴ Rt△EFH≌Rt△AJI，JI=FH=a ，

∵ ∠5=∠3=90°-∠AIJ，∠3=∠4 ,

∴ ∠4=∠5，又DA=JI=a，∠ADL=∠IJK=90°，

∴ Rt△ADL≌Rt△IJK，

∵ ∠6=∠1=90°-∠EHF，∠1=∠2 ,

∴ ∠2=∠6，又EC=HB=b-a，∠LCE=∠KGH=90°

∴ Rt△LCE≌Rt△KGH ；

∴综上所述：正方形ABCD面积+正方形EFGB面积

=正方形EHIA面积；

即：a²+b²=c² ；

∴ 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。