勾股定理，又称商高定理，毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagorean theorem），是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。据说毕达高拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称「百牛定理」。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

勾股定理指出：

直角三角形两直角边(即「勾」，「股」)边长平方和等于斜边(即「弦」)边长的平方。

也就是说，

设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么

a2 + b2 = c2

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

直角边的平方和等于斜边的平方

勾股数组

勾股数组是满足勾股定理a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a = m2 − n2,b = 2mn,c = m2 + n2，其中

勾股定理（又叫「毕氏定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！

我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。

证明一

图一

在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（SAS）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

证明二

图二

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅**部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅**正方形的面积之和，所以我们有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2

展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

化简得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：

图三

由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2

展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2

化简得 c2 = a2 + b2（定理得证）

图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。

证明三

图四

图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅**的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2

展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2

化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）

有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！

在 1881 年，加菲（James A Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。

我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！

又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。

证明四

(a) (b) (c)

图五

证明四是这样做的：如图五(a)，我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。接著，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等於以斜边画出来的正方形面积。

留意在图五(b)中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。现在我将超出范围的部分分别以**、紫色和绿色表示出来。同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。现在依照图五(c)的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现，图五(a)中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等於图五(c)中斜边正方形的面积。由此，我们就证实了勾股定理。

这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

在历史上，以「出入相补」的原理证明勾股定理的，不只刘徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲，都有出现过类似的证明，只不过他们所绘的图，在外表上，或许会和刘徽的图有些少分别。下面的图六，就是将图五(b)和图五(c)两图结合出来的。留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面。看一看图六，我们曾经见过类似的图形吗？

图六

其实图六不就是图一吗？它只不过是将图一从另一个角度画出罢了。当然，当中分割正方形的方法就有所不同。

顺带一提，证明四比之前的证明有一个很明显的分别，证明四没有计算的部分，整个证明就是单靠移动几块图形而得出。我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」，不过，我自己就非常喜欢这些「无字证明」了。

图七

在多种「无字证明」中，我最喜欢的有两个。图七是其中之一。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。

事实上，以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多，但在这裏就未有打算将它们一一尽录了。

另一个「无字证明」，可以算是最巧妙和最简单的，方法如下：

证明五

(a) (b)

图八

图八(a)和图二一样，都是在一个大正方形中，放置了4个直角三角形。留意图中浅**部分的面积等於 c2。现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位，成为图八(b)。明显，图八(b)中两个浅**正方形的面积之和应该是 a2 + b2。但由於(a)、(b)两图中的大正方形不变，4 个直角三角形亦相等，所以余下两个浅**部的面积亦应该相等，因此我们就得到 a2 + b2 = c2，亦即是证明了勾股定理。

对於这个证明的出处，有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明，因而宰杀了一百头牛来庆祝。总之，我觉得这是众多证明之中，最简单和最快的一个证明了。

不要看轻这个证明，它其实包含著另一个意义，并不是每一个人都容易察觉的。我现在将上面两个图「压扁」，成为图九：

(a) (b)

图九

图九(a)中间的浅**部分是一个平行四边形，它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度。而图九(b)中的浅**部分是两个长方形，其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一样，(a)、(b)两图浅**部分的面积是相等的，所以将两式结合并消去共有的倍数，我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，这就是三角学中最重要的复角公式！原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的！

在证明二中，当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后，我提出了赵爽的「弦图」，这是一个展开 (a - b)2 的方法。而证明五亦有一个相似的情况，在这裏，我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外，我们亦有一个类似 (a - b) 的「无字证明」。这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，见图十。

(a) (b)

图十

证明六

图十一

图十一中， 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分，其中 Ð C 为直角，D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB。设 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意图中的三个三角形都是互相相似的，并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以

= 和 =

由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

将两式结合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得证。

证明六可以说是很特别的，因为它是本文所有证明中，唯一一个证明没有使用到面积的概念。我相信在一些旧版的教科书中，也曾使用过证明六作为勾股定理的证明。不过由於这个证明需要相似三角形的概念，而且又要将两个三角形翻来覆去，相当复杂，到今天已很少教科书采用，似乎已被人们日渐淡忘了！

可是，如果大家细心地想想，又会发现这个证明其实和证明一（即欧几里得的证明）没有分别！虽然这个证明没有提及面积，但 a2 = cx 其实就是表示 BC 上正方形的面积等於由 AB 和 BD 两边所组成的长方形的面积，这亦即是图一中**的部分。类似地，b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分。由此看来，两个证明都是依据相同的原理做出来的！

证明七

(a) (b) (c)

图十二

在图十二(a)中，我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚麼直接的关系，但由於两个相似图形面积之比等於它们对应边之比的平方，而任何正方形都相似，所以我们知道面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2。

不过，细心地想想就会发现，上面的推论中，「正方形」的要求是多余的，其实只要是一个相似的图形，例如图十二(b)中的半圆，或者是图十二(c)中的古怪形状，只要它们互相相似，那麼面积 I : 面积 II : 面积 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！

在芸芸众多的相似图形中，最有用的，莫过於与原本三角形相似的直角三角形了。

(a) (b)

图十三

在图十三(a)中，我在中间的直角三角形三边上分别画上三个和中间三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其实和原本三角形一样大，所以面积亦相等；如果我们从三角形直角的顶点引一条垂直线至斜边，将中间的三角形分成两分，那麼我们会发现图十三(a)的面积 I 刚好等於中间三角形左边的面积，而面积 II 亦刚好等於右边的面积。由图十三(b)可以知道：面积 I + 面积 II = 面积 III。与此同时，由於面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2，所以 a2 + b2 = c2。

七个证明之中，我认为这一个的布局最为巧妙，所用的数学技巧亦精彩。可惜对一个初中学生而言，这个证明就比较难掌握了。

我不太清楚这个证明的出处。我第一次认识这个证明，是在大学时候，一位同学从图书馆看到这个证明后告诉我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然记忆犹新。

欧几里得《几何原本》的第六卷命题 31 是这样写的：「在直角三角形中，对直角的边上所作的图形等於夹直角边上所作与前图相似且有相似位置的二图形之和。」我估计，相信想出证明七的人，应该曾经参考过这一个命题。 请同学们看教科书上习题39中B组第4题的插图。赵爽是我国三国时代东吴的数学家，他的著作《周髀算经注》（公元前3世纪）中有一篇“勾股圆方图注”，其中给出了勾股定理的一般形式：“勾、股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。”并给出了如第4题插图所示的证明。图中有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积的和应该正好等于大正方形的面积，即化简得到a2 + b2 = c2赵爽称此图为“弦图”。

关于这个定理，现在看到的国外最早的证明见之于欧几里得的〈几何原本〉（公元前3世纪）。他在证明时运用了面积与全等三角形的概念。

不同血型的人，他们的性格是完全不一样的。虽然有类似的地方，但是总体方向是不一样的。就算是相同血型的人，性格上也略带差异。所以就算是相同血型的人在一起，都有可能因为一些原因和发生矛盾。下面血型与爱情分析一下AB型血与AB型血夫妻如何相处？婚姻配对又是怎样的呢？

共同话题很多

AB型血最爱阅读，尤其喜欢文艺类的作品，故而身上带着一股清冷的文艺小青年范儿。因此，AB型血的人很容易就会被AB型血的人身上相同的气质所吸引，甚至有可能会一见钟情。所以如果将两个AB型血的人放在一起，他们往往能从一本书聊到世界观，是非常合拍的一对夫妻。

文学素养较高

此外，由于喜欢看书，AB型血的人具有较高的文学素养。因此当AB型血的人碰到AB型血的人，新的文章或陈年古籍都有可能成为双方讨论的焦点，并且互相印证彼此的猜想。两人在讨论中，不仅不会发生争吵，反而愈发了解彼此。所以，从这方面来看AB型血的人和AB型血的人，一般都合得来。

应该相互学习

AB型血的人一般都十分的聪明，尤其擅长逻辑推理和计算。尤其是年长的AB型血人眼光独到，常常觉得别人不能理解自己。所以AB型血的人很容易感觉到高处不胜寒的寂寞。AB型血与AB型血夫妻如何相处？所以如果AB型血的人碰到AB型血的人，那么一定不要自负，双方需要互相加强心灵沟通，这样才能和睦相处。

其实AB型血的丈夫也是很不错的。AB型血与AB型血夫妻如何相处？AB型血丈夫在外面往往待人和睦，做事也很认真细致，很少出现失误。尽管很有实力，但往往是真人不露相。虽然他们有着很强的自信心，但从不溢于言表。他们还善于和他人保持一定距离，往往会迅速地避开那些对自己没有益处的人，减少接触。

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嘎读音像广东话，可是前面的完全不像广东话，应该是写错了。

“噶”是虚词~表加强语气~相当于普通话里的“啦”，“啊”之类~一般放在句子末尾~比如“你成日甘噶”（你每天都这样的啦） 

“嘅”是助词~相当于普通话里的“的”~既可以出现在句末也可以在句中~比如“睇住你嘅也“（看好你的东西）

粤语，广东地区称广东话、广府话。广西地区称粤语为白话，使用粤语的汉族居民被称为白话人。在中国南方的广东中西部、香港、澳门、广西东南部，以及海外的东南亚、欧美地区的部分国家华人社区中广泛使用。粤语在美洲华埠则被称为“唐话”。而“广府话”、“省城话”这两个名称则专门指旧广州府地区。

广东话的起源：

它的名称来源于中国古代对长江以南方沿海地区的称谓“越”或粤 。在古籍中，越即粤，古代粤、越通用，对于长江中下游以南沿海地区的部族，常统称为“越”，文献上称之为百越、百粤、诸越。广东，《史记》中称“南越”，《汉书》称“南粤”。

隋唐以后“越”、“粤”两个字的含义开始有所区别，前者多用于江浙吴语地区，后者多用于岭南两广，并长期作为岭南地区的统称。后来两广称谓区分，“粤”特指广东，广西简称为“桂”。